Kategori: Matematika

11 Persamaan Matematika Terindah

11 Persamaan Matematika Terindah

Persamaan matematika tidak hanya berguna – banyak juga yang cukup indah. Dan banyak ilmuwan mengakui bahwa mereka sering menyukai formula tertentu tidak hanya karena fungsinya. Tetapi juga karena bentuknya, dan kebenaran puitis sederhana yang dikandungnya.

Sementara persamaan terkenal tertentu, seperti Albert Einstein E = mc^2. Memonopoli sebagian besar kemuliaan publik, banyak rumus yang kurang dikenal memiliki juara di antara para ilmuwan. LiveScience bertanya kepada fisikawan, astronom, dan ahli matematika tentang persamaan favorit mereka. Inilah yang kami temukan:

Relativitas Umum

Persamaan di atas dirumuskan oleh Einstein sebagai bagian dari teori relativitas umum yang inovatif pada tahun 1915. Teori itu merevolusi cara ilmuwan memahami gravitasi dengan menggambarkan gaya sebagai lengkungan struktur ruang dan waktu.

“Sungguh menakjubkan bagi saya bahwa satu persamaan matematika seperti itu dapat menggambarkan tentang apakah ruang-waktu itu”. Kata astrofisikawan Institut Sains Teleskop Luar Angkasa Mario Livio, yang menominasikan persamaan itu sebagai favoritnya. “Semua kejeniusan sejati Einstein terwujud dalam persamaan ini.”

“Sisi kanan persamaan ini menjelaskan kandungan energi alam semesta kita. (Termasuk ‘energi gelap’ yang mendorong percepatan kosmik saat ini)” jelas Livio. “Sisi kiri menggambarkan geometri ruang-waktu. Persamaan tersebut mencerminkan fakta bahwa dalam relativitas umum Einstein. Massa dan energi menentukan geometri, dan bersamaan dengan kelengkungan. Yang merupakan manifestasi dari apa yang kita sebut gravitasi.”

“Ini persamaan yang sangat elegan,” kata Kyle Cranmer, fisikawan di Universitas New York. Menambahkan bahwa persamaan tersebut mengungkapkan hubungan antara ruang-waktu dan materi dan energi. “Persamaan ini memberi tahu Anda bagaimana mereka terkait. Bagaimana kehadiran matahari membelokkan ruang-waktu sehingga Bumi bergerak mengelilinginya dalam orbit, dll. Persamaan ini juga memberi tahu Anda bagaimana alam semesta berevolusi sejak Big Bang. Dan memprediksi bahwa seharusnya ada lubang hitam.”

Model Standar

Teori utama fisika lainnya. Model standar menggambarkan kumpulan partikel fundamental yang saat ini dianggap membentuk alam semesta kita.

Teori ini dapat dirangkum dalam persamaan utama yang disebut model standar Lagrangian. (Dinamai menurut ahli matematika dan astronom Prancis abad ke-18 Joseph Louis Lagrange). Dipilih oleh fisikawan teoretis Lance Dixon dari SLAC National Accelerator Laboratory di California sebagai rumus favoritnya.

“Ini telah berhasil menggambarkan semua partikel dasar dan gaya yang telah kami amati di laboratorium sampai saat ini – kecuali gravitasi,” kata Dixon LiveScience. “Itu termasuk, tentu saja, Higgs (seperti) boson, phi yang baru-baru ini ditemukan dalam rumusnya. Ini sepenuhnya konsisten dengan mekanika kuantum dan relativitas khusus.”

Akan tetapi, teori model standar belum disatukan dengan relativitas umum. Itulah sebabnya ia tidak dapat menggambarkan gravitasi.

Kalkulus

Sementara dua persamaan pertama mendeskripsikan aspek-aspek tertentu dari alam semesta kita, persamaan favorit lainnya dapat diterapkan pada segala macam situasi. Teorema fundamental kalkulus membentuk tulang punggung metode matematika yang dikenal sebagai kalkulus. Dan menghubungkan dua gagasan utamanya, konsep integral dan konsep turunan.

“Dengan kata sederhana, [itu] mengatakan bahwa perubahan bersih dari kuantitas halus dan kontinu, seperti jarak yang ditempuh, selama interval waktu tertentu (yaitu perbedaan nilai kuantitas pada titik akhir interval waktu) sama dengan integral laju perubahan kuantitas itu, yaitu integral kecepatan,” kata Melkana Brakalova-Trevithick, ketua jurusan matematika di Universitas Fordham, yang memilih persamaan ini sebagai favoritnya. “Teorema dasar kalkulus (FTC) memungkinkan kita untuk menentukan perubahan bersih selama interval berdasarkan tingkat perubahan selama seluruh interval.”

Benih kalkulus dimulai pada zaman kuno, tetapi sebagian besar disatukan pada abad ke-17 oleh Isaac Newton. Yang menggunakan kalkulus untuk menggambarkan gerakan planet-planet di sekitar matahari.

Teori Pitagoras

Persamaan “kuno tapi bagus” adalah teorema Pythagoras yang terkenal, yang dipelajari setiap siswa geometri pemula.

Rumus ini menguraikan bagaimana, untuk segitiga siku-siku apa pun, kuadrat dari panjang hipotenusa, c, (sisi terpanjang segitiga siku-siku). Sama dengan jumlah kuadrat dari panjang kedua sisi lainnya (a dan b ). Jadi, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2

“Fakta matematika pertama yang membuat saya takjub adalah teorema Pythagoras,” kata matematikawan Daina Taimina dari Cornell University. “Saat itu saya masih kecil dan menurut saya sangat menakjubkan bahwa ia bekerja dalam geometri dan bekerja dengan angka!”

1 = 0,9999999999….

Persamaan sederhana ini, yang menyatakan bahwa kuantitas 0,999, yang diikuti oleh untaian sembilan tak hingga. Setara dengan satu, adalah favorit matematikawan Steven Strogatz dari Cornell University.

“Saya suka betapa sederhananya ini – semua orang mengerti apa yang dikatakannya – namun betapa provokatifnya itu,” kata Strogatz. “Banyak orang tidak percaya itu benar. Itu juga sangat seimbang. Sisi kiri melambangkan permulaan matematika; sisi kanan melambangkan misteri ketidakterbatasan.”

Relativitas Khusus

Einstein membuat daftar itu lagi dengan rumusnya untuk relativitas khusus, yang menjelaskan bagaimana ruang dan waktu bukanlah konsep absolut. Melainkan relatif bergantung pada kecepatan pengamat. Persamaan di atas menunjukkan bagaimana waktu melebar, atau melambat, semakin cepat seseorang bergerak ke segala arah.

“Intinya adalah sangat sederhana,” kata Bill Murray, fisikawan partikel di laboratorium CERN di Jenewa. “Tidak ada yang tidak bisa dilakukan oleh siswa tingkat A, tidak ada turunan kompleks dan jejak aljabar. Tapi yang diwujudkannya adalah cara pandang yang sama sekali baru terhadap dunia, seluruh sikap terhadap realitas dan hubungan kita dengannya. Tiba-tiba, kaku kosmos yang tidak berubah tersapu dan diganti dengan dunia pribadi, terkait dengan apa yang Anda amati. Anda berpindah dari berada di luar alam semesta, melihat ke bawah, ke salah satu komponen di dalamnya. Tetapi konsep dan matematika dapat dipahami oleh siapa saja yang menginginkan.”

Murray mengatakan dia lebih suka persamaan relativitas khusus daripada rumus yang lebih rumit dalam teori Einstein selanjutnya. “Saya tidak pernah bisa mengikuti matematika relativitas umum,” katanya.

Persamaan Euler

Rumus sederhana ini merangkum sesuatu yang murni tentang sifat bola:

“Dikatakan bahwa jika Anda memotong permukaan bola menjadi wajah, tepi dan simpul. Dan F adalah jumlah sisi, E jumlah sisi dan V jumlah simpul. Anda akan selalu mendapatkan V – E + F = 2,” kata Colin Adams. Beliau adalah matematikawan di Williams College di Massachusetts.

Jadi misalnya tetrahedron yang terdiri dari empat segitiga, enam sisi, dan empat simpul, jelas Adams. “Jika Anda meniup dengan keras menjadi tetrahedron dengan permukaan yang fleksibel. Anda dapat membulatkannya menjadi sebuah bola. Jadi dalam pengertian itu, sebuah bola dapat dipotong menjadi empat sisi, enam sisi dan empat simpul. Dan kita melihat bahwa V – E + F = 2. Pegangan yang sama untuk piramida dengan lima sisi – empat segitiga, dan satu persegi – delapan sisi dan lima simpul.”

Dikombinasi dengan wajah, sisi, dan simpul lainnya. “Fakta yang sangat keren! Kombinatorik dari simpul, tepi, dan permukaan menangkap sesuatu yang sangat mendasar tentang bentuk bola,” kata Adams.

Persamaan Euler-Lagrange dan Teorema Noether

“Ini sangat abstrak, tapi sangat kuat,” kata Cranmer dari NYU. “Hal yang keren adalah bahwa cara berpikir tentang fisika ini telah bertahan dari beberapa revolusi besar dalam fisika. Seperti mekanika kuantum, relativitas, dll.”

Di sini, L adalah singkatan dari Lagrangian, yang merupakan ukuran energi dalam sistem fisik. Seperti pegas, atau pengungkit atau partikel fundamental. “Memecahkan persamaan ini memberi tahu Anda bagaimana sistem akan berkembang seiring waktu,” kata Cranmer.

Sebuah spin-off persamaan Lagrangian disebut teorema Noether, diambil dari nama matematikawan Jerman abad ke-20, Emmy Noether. “Teorema ini sangat fundamental bagi fisika dan peran simetri,” kata Cranmer. Secara informal, teorema adalah bahwa jika sistem Anda memiliki simetri, maka ada hukum kekekalan yang sesuai. Sebagai contoh, gagasan bahwa hukum dasar fisika sama dengan hari ini (simetri waktu) menyiratkan bahwa energi dikonservasi. Gagasan bahwa hukum fisika di sini sama dengan hukum di luar angkasa menyiratkan bahwa momentum dilestarikan. Simetri mungkin adalah konsep penggerak dalam fisika fundamental, terutama karena kontribusi [Noether].”

Persamaan Callan-Symanzik

“Persamaan Callan-Symanzik adalah persamaan prinsip-prinsip penting dari tahun 1970. Penting untuk menggambarkan bagaimana ekspektasi naif akan gagal di dunia kuantum,” kata fisikawan teoritis Matt Strassler dari Universitas Rutgers.

Persamaan ini memiliki banyak aplikasi, termasuk memungkinkan fisikawan memperkirakan massa dan ukuran proton dan neutron, yang menyusun inti atom.

Fisika dasar memberi tahu kita bahwa gaya gravitasi, dan gaya listrik. Antara dua benda sebanding dengan kuadrat jarak di antara keduanya. Pada tingkat sederhana, hal yang sama berlaku untuk gaya nuklir kuat. Yang mengikat proton dan neutron bersama-sama untuk membentuk inti atom. Dan yang mengikat kuark menjadi satu untuk membentuk proton dan neutron. Namun, fluktuasi kuantum kecil dapat sedikit mengubah ketergantungan gaya pada jarak, yang memiliki konsekuensi dramatis bagi gaya nuklir kuat.

“Ini mencegah gaya ini berkurang pada jarak jauh, dan menyebabkannya menjebak quark. Dan menggabungkannya untuk membentuk proton dan neutron dunia kita,” kata Strassler. “Apa yang dilakukan persamaan Callan-Symanzik adalah menghubungkan efek dramatis dan sulit dihitung ini, penting ketika [jarak] kira-kira seukuran proton, dengan efek yang lebih halus tetapi lebih mudah dihitung yang dapat diukur saat [ jaraknya] jauh lebih kecil dari proton.”

Persamaan Permukaan Minimal

“Persamaan permukaan minimal entah bagaimana menyandikan film sabun indah yang terbentuk pada batas kawat. Saat Anda mencelupkannya ke dalam air sabun,” kata ahli matematika Frank Morgan dari Williams College. “Fakta bahwa persamaannya adalah ‘nonlinier’, yang melibatkan kekuatan dan produk turunan, adalah petunjuk matematika berkode untuk perilaku mengejutkan film sabun. Hal ini berbeda dengan persamaan diferensial parsial linier yang lebih dikenal, seperti persamaan panas. Persamaan gelombang, dan persamaan Schrödinger dari fisika kuantum.”

Garis Euler

Glen Whitney, pendiri Museum of Math di New York, memilih teorema geometris lain, yang satu ini berkaitan dengan garis Euler. Dinamai menurut ahli matematika dan fisikawan Swiss abad ke-18 Leonhard Euler.

“Mulailah dengan segitiga apa saja,” jelas Whitney. “Gambarkan lingkaran terkecil yang berisi segitiga dan temukan pusatnya. Temukan pusat massa segitiga – titik di mana segitiga, jika dipotong dari selembar kertas, akan seimbang pada sebuah peniti. Gambarkan tiga ketinggian dari segitiga tersebut. Segitiga  adalah garis dari setiap sudut tegak lurus ke sisi yang berlawanan. Temukan titik di mana mereka semua bertemu. Teorema adalah bahwa ketiga titik yang baru saja Anda temukan selalu terletak pada satu garis lurus. Yang disebut ‘garis Euler’ dari segitiga.”

Whitney mengatakan teorema merangkum keindahan dan kekuatan matematika, yang sering mengungkapkan pola mengejutkan dalam bentuk yang sederhana dan familiar.

Rasio Emas: Apa Adanya dan Mengapa Anda Harus Menggunakannya dalam Desain

Apa keributan tentang rasio emas yang terkenal itu? Mengapa setiap kali Anda mencari Rasio Emas, yang Anda temukan hanyalah gambar yang terlihat seperti di atas. Mengapa struktur atau pola dalam rasio emas dianggap menyenangkan secara estetika? Adakah rasio emas yang lebih dari yang kita ketahui? Jika Anda juga berbagi intrik ini. Mari kita uraikan dan coba pahami apa itu rasio emas dan mengapa itu penting bagi kita sebagai desainer?

Apa Rasio Emas?

Secara matematis, dua kuantitas berada dalam Rasio Emas. Jika rasionya sama dengan rasio jumlah mereka dengan dua kuantitas yang lebih besar. Mengacu pada gambar di bawah ini, a/b adalah rasio emas.

Apa Nilainya dan Bagaimana Itu Disimpulkan?

Itu benar! 1.618, bilangan irasional matematis secara menarik dianggap sebagai rasio emas, rata-rata emas, proporsi ilahi. Dan banyak nama lain yang dikaitkan dengan rasio emas. Yang lebih menarik daripada nilainya adalah penemuan nilainya.

Berabad-abad yang lalu, pikiran jenius mulai mengamati pola alam yang indah di sekitar mereka; Dari susunan daun pada tumbuhan, hingga pola kuntum bunga, daun pinus, atau sisik nanas; semuanya memiliki pola yang sama. Dan pengaturannya berjalan 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34 dan seterusnya. Voila! Fibonacci. Saat Anda mulai menghitung rasio bilangan fibonacci dengan bilangan fibonacci sebelumnya, kita akan mendapatkan hasil seperti 1.61803… bilangan irasional yang dibulatkan menjadi 3 tempat desimal 1.618 yang merupakan rasio emas yang kita baca.
Apa yang secara alami menyenangkan mata, angka ini kemudian digunakan dalam membuat proporsi untuk arsitektur, lukisan, patung, fotografi, desain, dll.

Rasio Emas dan Desainer

Rasio Emas menemukan aplikasi besar dalam desain cetak seperti: poster, materi pemasaran, kartu kunjungan, dll. Diskusi ini lebih banyak membahas tentang bagaimana kita dapat menggunakan rasio emas secara efektif. Dalam pekerjaan kita sebagai desainer antarmuka pengguna. Ayo cari tahu.

1. Bentuk Emas untuk Digunakan

Bentuk emas yang paling banyak digunakan dalam desain adalah Golden Rectangles, Golden Circles, Golden Spiral, dan Golden Triangles. Seringkali, ini digunakan dalam kombinasi untuk menciptakan komposisi desain yang memukau. Jika Anda seorang pemula yang lengkap, saya mendorong Anda untuk mengikuti tutorial online untuk memahami cara membuat bentuk emas.

2. Mengatur Dimensi Tata Letak dengan Golden Ratio

Layout pada web atau desain grafis digunakan untuk menyusun elemen visual pada suatu halaman. Ini melibatkan pengorganisasian komposisi seni untuk mencapai tujuan komunikasi tertentu. Rasio Emas dapat digunakan di sini untuk menentukan lebar panel, bilah sisi, atau bahkan tinggi tampilan. Misalnya, layout dengan lebar 960px. Membagi ini dengan 1.618 kira-kira memberi kita 594px (593.325 ..) yang dapat didefinisikan dengan sangat baik sebagai ketinggian pandangan Anda. Dua bagian terpisah juga dapat dibuat dengan ukuran 594px dan 366px (960–594) yang dapat membentuk dua bagian tata letak halaman. Kita bisa lebih jauh membagi ruang dengan cara emas untuk mencapai lebih banyak grid. Mendefinisikan ketinggian tampilan apa pun sangat menonjol dalam desain Grafis dibandingkan dengan desain Web. Karena konten adalah faktor yang menentukan ketinggian halaman dalam desain web.

3. Mendefinisikan Jarak Antar Konten Menggunakan Rasio Emas

Seringkali, kita menggunakan padding dan margin standar untuk menentukan talang dan jarak antara blok konten. Terlepas dari apa ukuran tata letaknya. Pengelolaan ruang positif atau negatif ini seringkali membuat atau menghancurkan hasil akhir. Namun demikian, persegi panjang emas dapat digunakan untuk memastikan bahwa ruang antar-tata letak proporsional dan dihitung.

“Tip: Gunakan kotak yang lebih besar seperti unit 8 dan 13 untuk menentukan tata letak. Gunakan kotak yang lebih kecil dari unit 1, 2 atau 3 untuk menentukan talang dan spasi konten “

4. Menggunakan Rasio Emas dalam Tipografi

Jika Anda kesulitan mencari tahu ukuran hierarki teks yang berbeda dalam komposisi desain. Anda dapat menggunakan rasio emas sebagai panduan untuk menentukan ukuran terbaik untuk masing-masing. Misalkan teks tubuh adalah 10px. Mengalikannya dengan 1,618 menghasilkan 16,18. Ukuran teks judul bisa 16px. Jika Anda memiliki judul dengan ukuran 24 piksel dan bertanya-tanya berapa ukuran terbaik untuk teks tubuh, itu benar! Bagilah dengan 1,618, yang menghasilkan 14,83 yang dapat Anda bulatkan menjadi 15px atau 14px. Ini dia! Menggunakan rasio emas menyederhanakan keputusan dalam menentukan ukuran untuk hierarki teks.

5. Desain Ikon/Logo Menggunakan Rasio Emas

Bentuk Emas seperti segitiga, kotak, lingkaran, dan spiral banyak digunakan saat mendesain ikon atau logo. Penggunaan bentuk emas yang tepat dapat memanfaatkan keseimbangan yang tepat dan dapat mengubah desain yang bagus menjadi desain yang hebat. Kami tidak akan membahas banyak detail dari bagian ini karena ini sepenuhnya merupakan bagian yang lebih besar. Namun, di bawah ini adalah beberapa contoh penggunaan rasio emas pada ikon dan logo.

Kesimpulan

Rasio emas secara matematis adalah bilangan irasional, yang berarti kita tidak akan pernah bisa mencapainya dengan sempurna dalam desain; perdebatan yang berlangsung selamanya.

Kesimpulan bagi para desainer adalah, penggunaan rasio emas bukanlah sesuatu yang akan membuat atau menghancurkan desain Anda. Tidak semua komposisi desain bisa diturunkan menggunakan rasio emas. Jika diperlukan, itu harus digunakan sebagai panduan untuk membuat proporsi dalam desain kita. Penggunaan golden ratio dalam desain membutuhkan banyak pemahaman dan latihan untuk menyempurnakannya. Rasio Emas dengan demikian adalah satu lagi alat berguna yang seharusnya ada di kotak peralatan desainer.

“Penggunaan rasio emas dalam komposisi artistik menghadirkan keseimbangan alami dan harmoni visual”

Namun, karena pola-pola inilah yang ada di alam sekitar kita. Penggunaan rasio emas dalam komposisi artistik menghadirkan keseimbangan alami dan harmoni visual. Sehingga memberikan daya tarik estetika yang tak terbantahkan.

Ada banyak rasio emas dan tidak dapat disatukan dalam pembacaan 5-6 menit. Beri tahu saya pendapat Anda tentang rasio emas dan bagaimana Anda menggunakannya saat mendesain untuk digital dan cetak. Mari kita bersama-sama membuat Rasio Emas mudah dipahami dan efektif digunakan.

Terima kasih telah membaca!

10 Ahli Matematika Terbaik

Alex Bellos mengkategorikan ilmuan matematika cerdas yang ilmunya berguna di seluruh dunia.

1. Pythagoras (sekitar 570-495 S.M.)

Pemimpin mistik vegetarian dan obsesif terhadap angka. Dia berutang kedudukannya sebagai nama paling terkenal dalam matematika karena teorema tentang segitiga siku-siku. Meskipun sekarang tampaknya itu mungkin mendahuluinya. Dia tinggal dalam komunitas di mana angka dihormati karena kualitas spiritualnya dan matematika. Peninggian angka-angka sebagai esensi dunia membuatnya menjadi primogenitor utama matematika Yunani, pada dasarnya awal matematika seperti yang kita kenal sekarang. Dan, yang terkenal, dia tidak makan kacang.

2. Hypatia (sekitar 360-415)

Ilmuan matematika

Perempuan kurang terwakili dalam matematika, namun sejarah subjek tidak hanya laki-laki. Hypatia adalah seorang sarjana di perpustakaan Alexandria pada abad ke-4 M. Warisan ilmiahnya yang paling berharga adalah versi editannya dari Euclid’s The Elements, teks matematika Yunani yang paling penting. Dan salah satu versi standar selama berabad-abad setelah kematiannya yang sangat mengerikan. Dia dibunuh oleh gerombolan Kristen yang menelanjanginya, mengupasnya. daging dengan pecahan tembikar dan merobek anggota tubuhnya.

3. Girolamo Cardano (1501-1576)

Polymath Italia yang dengannya istilah manusia Renaisans dapat ditemukan. Berprofesi dokter, dan penulis 131 buku. Dia juga seorang penjudi kompulsif. Kebiasaan terakhir inilah yang membawanya pada analisis ilmiah pertama tentang probabilitas. Dia menyadari dia bisa menang lebih banyak di meja dicing jika dia mengungkapkan kemungkinan kejadian kebetulan menggunakan angka. Ini adalah ide revolusioner, dan itu mengarah pada teori probabilitas. Yang pada gilirannya menyebabkan lahirnya statistik, pemasaran, industri asuransi, dan ramalan cuaca.

4. Leonhard Euler (1707-1783)

Ahli matematika paling produktif sepanjang masa, menerbitkan hampir 900 buku. Ketika dia menjadi buta di akhir usia 50-an, produktivitasnya di banyak bidang meningkat. Rumusnya yang terkenal eiπ + 1 = 0, di mana e adalah konstanta matematika yang kadang-kadang dikenal sebagai bilangan Euler. Dan i adalah akar kuadrat dari minus satu, secara luas dianggap sebagai yang terindah dalam matematika. Dia kemudian tertarik pada kotak Latin. Kisi di mana setiap baris dan kolom berisi setiap anggota dari satu set angka atau objek satu kali. Tanpa pekerjaan ini, kita mungkin tidak memiliki sudoku.

5. Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Dikenal sebagai pangeran ahli matematika, Gauss memberikan kontribusi yang signifikan pada sebagian besar bidang matematika abad ke-19. Seorang perfeksionis yang obsesif, dia tidak mempublikasikan banyak karyanya, lebih suka mengerjakan ulang dan memperbaiki teorema terlebih dahulu. Penemuan revolusionernya atas ruang non-Euclidean (bahwa secara matematis konsisten bahwa garis paralel dapat menyimpang) ditemukan dalam catatannya setelah kematiannya. Selama analisisnya terhadap data astronomi, dia menyadari bahwa kesalahan pengukuran menghasilkan kurva lonceng. Dan bentuk itu sekarang dikenal sebagai distribusi Gaussian.

6. Georg Cantor (1845-1918)

Dari semua ahli matematika hebat, Dia seorang jenius dan penyanyi paling sempurna yang memenuhi stereotip (Hollywood). Dalam matematika dan penyakit mental entah bagaimana tidak dapat dipisahkan. Wawasan Cantor yang paling cemerlang adalah mengembangkan cara untuk berbicara tentang ketidakterbatasan matematika. Teori himpunannya mengarah pada penemuan kontra-intuitif bahwa beberapa infinitas lebih besar dari yang lain. Hasilnya luar biasa. Sayangnya, dia mengalami gangguan mental dan sering dirawat di rumah sakit. Ia pun terpaku pada pembuktian bahwa karya Shakespeare sebenarnya ditulis oleh Francis Bacon.

7. Paul Erdös (1913-1996)

Erdös menjalani kehidupan nomaden, tanpa kepemilikan. Berpindah dari satu universitas ke universitas lain, dari kamar cadangan rekan kerja ke hotel konferensi. Dia jarang menerbitkan sendiri, lebih suka berkolaborasi. Dia menulis sekitar 1.500 makalah, dengan 511 kolaborator. Menjadikannya ahli matematika paling produktif kedua setelah Euler. Sebagai penghormatan yang lucu, sebuah “Erdös number” diberikan kepada ahli matematika sesuai dengan kedekatan kolaboratif mereka dengannya. No 1 untuk mereka yang telah menulis makalah dengannya. Dan No 2 untuk mereka yang telah menulis dengan ahli matematika dengan Erdös No 1, dan seterusnya.

8. John Horton Conway (lahir tahun 1937)

Liverpudlian terkenal karena matematika serius yang berasal dari analisisnya tentang game dan teka-teki. Pada tahun 1970, dia membuat aturan untuk Game of Life. Sebuah permainan di mana Anda melihat bagaimana pola sel berevolusi dalam sebuah grid. Ilmuwan komputer awal suka bermain Life, mendapatkan status bintang Conway. Dia telah memberikan kontribusi penting pada banyak cabang matematika murni, seperti teori grup, teori bilangan, dan geometri bersama kolaborator. Juga menghasilkan konsep yang terdengar indah seperti bilangan surealis, antiprisme agung, dan nonsen yang mengerikan.

9. Grigori Perelman (lahir tahun 1966)

Perelman dianugerahi $1 juta bulan lalu karena membuktikan salah satu pertanyaan terbuka paling terkenal dalam matematika, Poincaré Conjecture. Tapi petapa Rusia itu menolak menerima uang tunai itu. Dia telah menolak penghargaan matematika paling bergengsi, Fields Medal pada tahun 2006. “Jika buktinya benar maka tidak diperlukan pengakuan lain,” katanya. The Poincaré Conjecture pertama kali dinyatakan pada tahun 1904 oleh Henri Poincaré dan menyangkut perilaku bentuk dalam tiga dimensi. Perelman saat ini menganggur dan hidup hemat bersama ibunya di St Petersburg.

10. Terry Tao (lahir tahun 1975)

Seorang Australia keturunan Cina yang tinggal di AS, Tao juga memenangkan (dan menerima) Fields Medal pada tahun 2006. Bersama dengan Ben Green, dia membuktikan hasil yang luar biasa tentang bilangan prima. Bahwa Anda dapat menemukan urutan bilangan prima. Dengan panjang berapa pun yang mana setiap angka dalam urutan adalah jarak tetap yang terpisah. Misalnya, deret 3, 7, 11 memiliki tiga bilangan prima dengan jarak 4 terpisah. Urutan 11, 17, 23, 29 memiliki empat bilangan prima yang terpisah 6. Sementara urutan seperti ini dengan panjang berapa pun ada. Tidak ada yang menemukan jumlah yang lebih dari 25 bilangan prima. Karena bilangan prima pada saat itu lebih dari 18 digit.

Identitas Euler: ‘Persamaan Terindah’

Identitas Euler adalah persamaan yang ditemukan dalam matematika yang telah dibandingkan dengan soneta Shakespeare. Dan digambarkan sebagai “persamaan yang paling indah”. Ini adalah kasus khusus dari persamaan dasar dalam aritmatika kompleks yang disebut Rumus Euler. Yang oleh fisikawan hebat Richard Feynman disebut dalam ceramahnya “permata kita” dan “rumus paling luar biasa dalam matematika.”

Dalam sebuah wawancara dengan BBC, Prof David Percy dari Institut Matematika dan Aplikasinya. Mengatakan bahwa Identitas Euler adalah “klasik nyata dan Anda tidak dapat melakukan yang lebih baik dari itu. Sederhana untuk dilihat namun sangat mendalam, ini terdiri dari lima konstanta matematika yang paling penting. ”

Identitas Euler ditulis sebagai: eiπ + 1 = 0

Lima konstanta tersebut adalah:

  • Angka 0.
  • Angka 1.
  • Angka π, sebuah bilangan irasional (dengan digit tak berujung) yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Sekitar 3,14159…
  • Angka e, juga merupakan angka irasional. Ini adalah basis logaritma natural yang muncul secara alami melalui studi bunga majemuk dan kalkulus. Angka e meliputi matematika, muncul entah dari mana dalam banyak persamaan penting. Sekitar 2,71828….
  • Angka i, didefinisikan sebagai akar kuadrat dari negatif: √ (-1). Bilangan imajiner yang paling mendasar, disebut demikian. Karena, pada kenyataannya, tidak ada bilangan yang dapat dikalikan dengan sendirinya untuk menghasilkan bilangan negatif. (Dan, oleh karena itu, bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat nyata). Tetapi dalam matematika, ada banyak situasi di mana seseorang dipaksa untuk mengambil akar kuadrat dari sebuah negatif. Oleh karena itu, huruf i digunakan sebagai semacam stand-in untuk menandai tempat di mana hal ini dilakukan.

Ahli Matematika yang Produktif

Leonhard Euler adalah matematikawan kelahiran Swiss abad ke-18 yang mengembangkan banyak konsep yang tidak terpisahkan dengan matematika modern. Dia menghabiskan sebagian besar karirnya di St. Petersburg, Rusia. Dia adalah salah satu ahli matematika paling produktif sepanjang masa, menurut U.S. Naval Academy (USNA), dengan 886 makalah dan buku yang diterbitkan. Banyak dari hasil karyanya datang selama dua dekade terakhir hidupnya, ketika dia benar-benar buta. Ada begitu banyak pekerjaan sehingga Akademi St. Petersburg terus menerbitkan karyanya secara anumerta selama lebih dari 30 tahun.

Kontribusi penting Euler termasuk Rumus Euler dan Teorema Euler, yang keduanya dapat berarti hal yang berbeda tergantung pada konteksnya. Menurut USNA, dalam mekanika, ada “sudut Euler (untuk menentukan orientasi benda kaku), teorema Euler (bahwa setiap rotasi memiliki sumbu). Persamaan Euler untuk gerakan fluida, dan persamaan Euler-Lagrange (yang berasal dari kalkulus variasi). ”

Mengalikan Bilangan Kompleks

Identitas Euler secara alami berasal dari interaksi bilangan kompleks. Yang merupakan bilangan yang terdiri dari dua bagian: bilangan real dan bilangan imajiner; contohnya adalah 4 + 3i. Bilangan kompleks muncul dalam banyak aplikasi seperti mekanika gelombang. (Studi dalam mekanika kuantum) dan desain sirkuit yang menggunakan arus bolak-balik (praktik umum dalam teknik kelistrikan). Selain itu, bilangan kompleks (dan sepupunya, bilangan kompleks hiper). Memiliki sifat yang membuatnya sangat berguna untuk mempelajari grafik komputer, robotika, navigasi, dinamika penerbangan, dan mekanika orbital. Mengalikannya akan menyebabkan bilangan tersebut berputar. Properti ini akan membantu kami memahami alasan di balik Identitas Euler.

Pada contoh di bawah, lima bilangan kompleks diplotkan pada bidang kompleks dan bersama-sama membentuk “bentuk rumah”. Bidang kompleks mirip dengan garis bilangan, hanya saja itu dua dimensi. Arah horizontal mewakili bilangan real dan sumbu vertikal mewakili bilangan imajiner. Setiap bilangan kompleks bentuk rumah dikalikan dengan bilangan kompleks 4 + 3i dan diplot ulang (panah hijau). [Terkait: Apa Itu Bilangan Kompleks?]

Seperti dapat dilihat, mengalikan dengan 4 + 3i menghasilkan bentuk rumah melebar. (Bertambah luas dan menjauh dari awal 0 + 0i dengan jumlah yang sama) dan berputar (menjadi miring oleh beberapa sudut). Untuk menunjukkan ini adalah efek mengalikan dengan 4 + 3i. Efek dari memperbesar rumah lima kali dan memutar sebesar 36,9 derajat juga ditampilkan (panah merah). Efek yang sama persis dihasilkan.

Jumlah dilatasi dan rotasi yang berbeda dapat menghasilkan efek perkalian dengan bilangan berapapun pada bidang kompleks.

Bentuk Kutub dari Bilangan Kompleks

Besarnya putaran dan dilatasi ditentukan oleh sifat-sifat intrinsik bilangan 4 + 3i. Yang terlihat pada gambar di bawah ini adalah lima satuan dari titik asal (r = 5). Dan membentuk sudut 36,9 derajat. Dengan sumbu horizontal ( φ = 36,9°). Pengukuran ini digunakan dalam apa yang dikenal sebagai bentuk kutub dari bilangan kompleks (reiφ). Sebagai lawan dari bentuk persegi panjang normal (a + bi).

Bentuk kutub mengharuskan φ diukur dalam radian. Satu radian (1rad) kira-kira 57,3 derajat; itu adalah ukuran sudut yang dibuat saat jari-jari lingkaran dibungkus dengan keliling lingkaran itu. Ukuran π radian membungkus setengah lingkaran; ukuran 2π radian membungkus lingkaran penuh.

Ukuran sudut untuk 4 + 3i adalah 0.644 radian (36.9° = 0.644rad). Yang berarti bentuk kutub dari 4 + 3i adalah 5ei0.644. Ukuran untuk r dan φ juga dapat ditentukan untuk masing-masing titik bentuk rumah. Dan cara lain untuk mencapai efek dilatasi/rotasi dari perkalian dengan 4 + 3i adalah mengalikan setiap r dengan lima. Dan menambahkan 36,9 derajat (atau 0,644 rad) untuk setiap φ. Dari demonstrasi ini, kita melihat bahwa ketika bilangan kompleks dikalikan bersama, jarak dikalikan dan sudut bertambah. Ini karena properti intrinsik terhadap eksponen, yang dapat ditampilkan secara aljabar.

Dengan terbentuknya bentuk kutub bilangan kompleks. Masalah Identitas Euler hanyalah kasus khusus a + bi untuk a = -1 dan b = 0. Akibatnya untuk bentuk kutub reiφ, hal ini membuat r = 1 dan φ = π ( karena πrad = 180 °).

Penurunan Bentuk Kutub

Meskipun Identitas Euler mengikuti bentuk kutub dari bilangan kompleks. Tidak mungkin untuk mendapatkan bentuk kutub (khususnya kemunculan spontan dari bilangan e) tanpa kalkulus.

Kami mulai dengan bentuk persegi panjang dari sebuah bilangan kompleks:

a + bi

Dari diagram dan trigonometri, kita dapat membuat substitusi sebagai berikut:

(r · cosφ) + (r · sinφ) i

Dari sini kita dapat memfaktorkan r:

r · (cosφ + i · sinφ)

Terkadang “cosφ + i · sinφ” dinamai cisφ, yang merupakan kependekan dari “cosinus plus sinus imajiner”.

r · cisφ

Jadi, persamaan r · cisφ ditulis dalam bentuk kutub standar r · eiφ.

Siapa yang Belajar di Kelas Matematika Tergantung pada Bagaimana Matematika Diajarkan

Siswa yang kurang siap dalam matematika memasuki universitas dan menciptakan tantangan untuk departemen matematika.

Ada banyak ide di luar sana tentang apa yang harus dilakukan tentang hal ini. Tetapi sedikit bukti untuk membimbing para pendidik matematika universitas bergulat dengan cara-cara baru. Untuk mengajar subjek lama ke badan siswa yang semakin beragam.

Tetapi bisnis seperti biasa tidak lagi menjadi pilihan.

Seperti debat yang mengamuk tentang pendidikan dan kesetaraan di sekolah dasar dan menengah. Apakah kita mengabaikan ketidakadilan potensial dalam kelas matematika pendidikan tinggi?

Para Siswa yang Kita Miliki atau yang Kita Inginkan?

Departemen matematika universitas memiliki tanggung jawab untuk mengajar siswa yang termotivasi. Dan tidak termotivasi, bersama dengan yang siap dan tidak siap.

Belum lagi meningkatnya jumlah unit layanan penuh dengan siswa dalam program gelar tergantung matematika seperti teknik, kesehatan dan biologi.

Sebagian besar siswa di kelas matematika universitas tidak akan menjadi ahli matematika dan secara intrinsik tidak tertarik pada matematika. Sementara beberapa akademisi menyangkal hal ini, banyak yang telah menerima kenyataan saat ini dalam mengajar matematika di universitas. Yaitu, bekerja dengan siswa yang Anda miliki di kelas Anda alih-alih bermimpi tentang siswa yang Anda inginkan.

Tetapi apa yang berhasil untuk meningkatkan hasil matematika siswa di universitas?

Melibatkan Siswa

Pada Konferensi Delta ke-9 tahunan tentang Pengajaran dan Pembelajaran Matematika Sarjana, pakar pendidikan sains Dr. Sandra Laursen membuat kasus yang kuat untuk menjauh dari pendekatan perkuliahan “bijak di atas panggung” yang pasif. Dengan mendukung siswa yang terlibat aktif dalam melakukan matematika di kelas.

Ada beberapa pendekatan berbeda yang dapat Anda ambil saat mengajar kelas matematika sarjana. Kelas matematika tradisional melihat dosen mengajar ketika siswa mendengarkan secara pasif. Tetapi ada pendekatan lain yang disebut “pembelajaran berbasis penyelidikan”. Yang melihat siswa aktif terlibat dalam pemecahan masalah dan diskusi dengan teman sebaya.

Laursen memimpin studi besar dan komprehensif tentang pembelajaran berbasis inkuiri dalam matematika sarjana.

Survei yang Merata

Dua tahun data bersumber dari 300 jam observasi kelas, 1100 survei, 220 tes, 3.200 transkrip siswa. Dan 110 wawancara dengan siswa dan akademisi dari 100 kelas di empat universitas besar.  Penelitian intensif yang menerapkan pendekatan ini dalam matematika.

Membandingkan siswa yang mengajar dengan pendekatan pembelajaran berbasis inkuiri dan mereka yang tidak. Penelitian ini menemukan bahwa mantan melaporkan peningkatan pembelajaran yang lebih baik. Analisis nilai menemukan bahwa siswa dalam pembelajaran berbasis penyelidikan (IBL) melakukan dengan baik. Atau lebih baik daripada siswa yang tidak menyelesaikan kelas IBL.

Tetapi yang lebih penting, hasil untuk kelompok siswa yang berbeda dramatis di kelas IBL dibandingkan dengan kelas non-IBL. Menerapkan pendekatan pembelajaran berbasis inkuiri dalam matematika meningkatkan hasil tidak hanya siswa berprestasi. Tetapi juga perempuan, guru matematika masa depan dan siswa berprestasi rendah.

Studi ini menemukan pendekatan tradisional untuk mengajar di matematika universitas lebih disukai laki-laki dan siswa berprestasi. Pendekatan yang berpusat pada siswa meningkatkan semua pembelajaran matematika siswa.

Juga ditemukan bahwa kelas matematika didominasi oleh pengajaran dan pendekatan. Yang berpusat pada guru – 87% dari waktu kelas membuat siswa mendengarkan. Dibandingkan dengan hanya 27% dari waktu kelas IBL yang dikhususkan untuk pembicaraan dosen. Siswa di kelas IBL menghabiskan lebih banyak waktu melakukan matematika melalui bekerja dalam kelompok kecil. Mempresentasikan di papan tulis dan mendiskusikan masalah dengan seluruh kelas.

Pengajaran yang Efektif

Bukti untuk mengubah mode dominan mengajar matematika di universitas meyakinkan. Dan manfaat dari pembelajaran berbasis inkuiri untuk kelompok siswa modern, seperti yang ditunjukkan oleh penelitian Laursen, sangat kuat.

Matematikawan tidak diharuskan memiliki pelatihan guru di pendidikan tinggi. Dengan demikian, mode pengajaran default menjadi mengajar saat Anda diajar.

Profesor Merrilyn Goos, yang baru-baru ini berbicara di konferensi yang sama dengan Dr. Laursen, mengatakan bahwa mengetahui matematika itu perlu, tetapi tidak cukup untuk menjadi guru yang efektif.

Matematikawan mulai mengubah paradigma dengan pendekatan pengajaran yang baru dan inovatif. Sementara banyak ahli matematika mungkin tidak merujuk ke IBL atau tren kelas terbalik di pendidikan tinggi. Mereka melibatkan siswa secara aktif dalam pemecahan masalah matematika.

Misalnya, meminta siswa membuat video penyelesaian masalah untuk mendorong komunikasi ide-ide matematika yang kompleks. Sistem respons audiens gratis juga mengubah kuliah pasif menjadi sesi tanya jawab.

Kemungkinan tidak terbatas untuk mengajar matematika untuk melibatkan siswa. Status quo mendukung laki-laki dan siswa berprestasi. Tetapi ruang kelas universitas hari ini harus mengundang semua siswa untuk belajar, dan menikmati belajar, matematika.

Buktinya ada untuk mengajar matematika di pendidikan tinggi. Percakapan yang lebih sedikit, sedikit lebih banyak aksi.

Ya, Matematika Bisa Didekolonisasi, Begini Cara Memulainya

Pada saat dekolonisasi, yang sebagian melibatkan perubahan isi dari apa yang diajarkan. Mendominasi perdebatan di banyak universitas, disiplin matematika menghadirkan kasus yang menarik.

Tetapi tidak jelas bagaimana matematika dapat didekolonisasi pada tingkat konten. Ini berarti bahwa mereka yang berada dalam disiplin harus mempertimbangkan aspek-aspek lain: proses kurikulum, seperti pemikiran kritis dan penyelesaian masalah; pedagogi – bagaimana subjek diajarkan dan, sebagaimana sejumlah orang berpendapat, membahas masalah identitas.

Identitas matematika siswa – bagaimana mereka melihat diri mereka sebagai pembelajar matematika. Dan sejauh mana matematika bermakna bagi mereka – penting ketika berpikir tentang mengajar dan belajar dalam matematika.

Dalam bukunya Leading for change, pendidik Afrika Selatan Jonathan Jansen menyarankan bahwa mengubah kampus universitas menjadi ruang yang diderasionalisasi membutuhkan perhatian baik pada proyek akademik maupun proyek manusia. Saya menganggap proyek manusia sebagai cara siswa melihat diri mereka sendiri. Apa artinya ini bagi matematika?

Jadi apa itu matematika?

Sebagai permulaan, penting untuk mengeksplorasi apa sebenarnya matematika itu.

Matematikawan dan akademis Jo Boaler menunjukkan bahwa matematika adalah satu-satunya subjek di mana siswa. Dan matematikawan memberikan jawaban yang sangat berbeda untuk pertanyaan ini.

Matematikawan memandang subjek sebagai upaya yang mengasyikkan dan kreatif di mana penyelesaian masalah. Keingintahuan, kegembiraan, intuisi, dan ketekunan memainkan peran penting – meskipun dalam kaitannya dengan objek studi abstrak.

Untuk sekolah dan bahkan mahasiswa matematika sarjana, aspek-aspek matematika ini sering tidak dialami dan tetap buram. Siswa cenderung percaya bahwa matematika adalah seperangkat prosedur yang harus diikuti. Mereka berpikir hanya orang-orang berbakat yang dapat melakukan dan memahami prosedur ini. Ini menunjukkan bahwa cara matematika biasanya diajarkan tidak memberikan peluang untuk mengakses pengetahuan matematika. Itu tidak memungkinkan siswa untuk mengidentifikasi dengan matematika, atau membuat mereka bercita-cita untuk menjadi ahli matematika.

Akibatnya, matematika memiliki masalah dengan keberagaman. Di seluruh dunia, matematikawan kulit hitam dan wanita tetap langka. Mereka hanya tidak mengambil matematika di tingkat akademik yang lebih tinggi sebanyak rekan-rekan putih dan laki-laki mereka.

Salah satu alasan untuk ini diberikan oleh sebuah penelitian di AS. Yang menunjukkan bahwa semakin banyak bidang yang atribut keberhasilan untuk bakat daripada upaya. Semakin sedikit akademisi perempuan dan kulit hitam di bidang itu. Ini karena lapangan melanggengkan stereotip tentang siapa yang termasuk dalam bidang tersebut. Studi yang sama menemukan bahwa profesor matematika memiliki ide-ide paling tetap tentang bakat.

Tetapi pandangan tentang bakat versus usaha ini tidak didukung oleh penelitian. Sejumlah sarjana berpendapat bahwa semua orang mampu belajar matematika, hingga tingkat tinggi.

Ini menunjukkan bahwa banyak “pers buruk” di sekitar matematika sebagai subjek. Dan disiplin terletak pada bagaimana hal itu diajarkan dan dipelajari.

Apa itu belajar?

Ketika para cendekiawan berteori belajar, pemikiran selalu terjadi dalam dua arah: ke masa lalu, dan ke masa depan.

Beberapa melihat pembelajaran sebagai membangun pengetahuan saat ini dalam cara linear langkah-bijaksana. Beberapa melihatnya sebagai bekerja dalam spiral – kembali ke ide-ide lama dengan cara baru. Yang lain lagi melihat belajar sebagai mengganggu atau mengubah pengetahuan saat ini.

Untuk guru, bekerja dengan pengetahuan saat ini berarti menemukan cara untuk memastikan, memprediksi, mengantisipasi. Dan berpikir tentang ide-ide siswa – dan menemukan cara untuk terlibat dengan ini. Bagian penting dari gagasan siswa tentang matematika adalah bagaimana mereka melihat diri mereka sendiri terkait dengan matematika. Penelitian di sekolah telah menunjukkan bahwa salah satu faktor kunci dalam prestasi matematika siswa. Adalah guru yang percaya bahwa mereka dapat mengerjakan matematika.

Masa depan itu penting karena universitas harus menghasilkan pemikir, pemimpin, profesional, dan warga negara di masa depan. Lembaga-lembaga ini adalah jembatan antara masa lalu dan masa depan.

Ahli teori pendidikan Etienne Wenger berpendapat bahwa belajar pada dasarnya adalah tentang menjadi orang tertentu. Di universitas, siswa dilantik ke dalam disiplin ilmu, bidang dan profesi yang mengharuskan mereka menjadi jenis orang tertentu dengan orientasi tertentu ke dunia, ke pengetahuan, ke orang lain dan untuk berlatih.

Secara tradisional universitas berfokus pada pengetahuan dan berharap bahwa identitas akan mengikuti. Ini sama sekali tidak berhasil. Tetapi untuk benar-benar mengubah proyek akademik, universitas harus melakukan pekerjaan identitas eksplisit dengan siswa mereka. Akademisi harus terlibat dalam proyek manusia, berpikir tentang siapa siswa mereka dan apa pengalaman matematika sebelumnya dan pembelajaran matematika.

Menuju perubahan sejati

Ada upaya untuk mengubah isi kurikulum matematika sekolah. Ini termasuk ethnomathematics, yang menggali matematika dalam benda-benda budaya, artefak dan praktik. Dan matematika kritis, di mana matematika digunakan untuk mengkritik aspek-aspek masyarakat dan di mana siswa mengkritik matematika. Misalnya, bagaimana algoritma menyusun hidup kita dengan cara yang mereproduksi ketidaksetaraan.

Namun, tidak semua matematika dapat diakses dengan cara ini. Untuk akses epistemologis sejati ke matematika, siswa perlu mempelajarinya secara sistematis, sebagai tubuh pengetahuan di dalam dan tentang dirinya sendiri. Ini bisa memberdayakan atau melemahkan.

Banyak, meskipun tentu saja tidak semua, matematika diciptakan oleh orang kulit putih mati. Tetapi matematika harus dan memang menjadi milik semua orang. Semua orang berhak mendapatkan akses ke keindahan dan kekuatannya. Dan setiap orang harus dapat mendorong kembali ketika disiplin digunakan untuk menghancurkan dan menindas.

Untuk mengubah pengajaran dan pembelajaran matematika dengan cara-cara yang memberdayakan siswa. Universitas perlu memberi siswa landasan teori yang mereka butuhkan untuk mengakses subjek dan mendukung mereka untuk mengidentifikasikannya. Untuk ingin mempelajarinya, untuk menjadi ahli matematika masa depan, untuk nikmati dan kritik matematika dan aplikasinya.

Ini berarti bahwa sebagai guru, kolega saya dan saya perlu percaya – untuk mengetahui – bahwa semua siswa dapat mengerjakan matematika. Pengetahuan ini harus ditularkan kepada mereka. Mereka harus diperlihatkan bahwa matematika adalah usaha manusia: ia milik semua orang, dan itu dapat diambil untuk mengubah masyarakat.

13 Alasan Mengapa Matematika itu Penting

Tampaknya wajar bahwa mayoritas penduduk hampir tidak tahu apa-apa tentang matematika dan bahwa hubungan mereka dengan matematika terbatas pada empat aturan. Jarak ini kontras dengan pentingnya matematika saat ini di masyarakat.

Matematika adalah pusat kebudayaan kita dan sejarahnya sering dikacaukan dengan filsafat. Sama seperti teori-teori kosmologis dan evolusi telah memberikan pengaruh besar pada konsepsi yang dimiliki manusia tentang diri kita sendiri. Geometri non-Euclidean telah memungkinkan ide-ide baru tentang alam semesta dan teorema logika matematika telah mengungkapkan keterbatasan dari metode deduktif.

Ada juga matematika di bidang seni. Sejak Pythagoras, ahli matematika yang paling terkenal, menemukan alasan numerik dalam harmoni musik, hubungan antara matematika dan seni telah permanen. Aspek-aspek matematika membuat mereka jembatan antara humaniora dan ilmu alam, antara dua budaya.

Matematika memiliki sejumlah manfaat yang sangat berguna bagi pikiran kita jika kita memasuki pelajarannya. Ini mengembangkan pemikiran kita, membantu kita memiliki pemikiran analitis, mempercepat pikiran kita. Dan menghasilkan kepraktisan dan juga penggunaannya dapat diterapkan pada hari ke hari.

Matematika hadir dalam kehidupan kita sehari-hari. Bagi banyak siswa, matematika itu membosankan, abstrak, kurang kreativitas, rumit dan sangat sulit untuk dipahami. Oleh karena itu ungkapan khas “Aku dari huruf” atau “Angka bukan milikku”. Namun, itu adalah subjek yang merupakan bagian dari studi anak-anak kita dan karena itu harus menjadi upaya untuk kompresi, yang biasanya melibatkan latihan terus-menerus.

Jika Anda berpikir bahwa Anda tidak dapat membantu anak Anda dengan matematika. Pelajaran dari tutor matematika, dalam hal itu, akan menjadi solusi yang tepat. Selain pengetahuan yang dimiliki para profesional ini, mereka juga mengetahui prosedur metodologis dalam transfer pengetahuan, dan itu sangat penting.

Manfaat Matematika untuk Pendidikan

Betapapun membosankannya matematika, studinya diterjemahkan menjadi manfaat untuk pendidikan dan untuk kehidupan kita secara umum seperti:

Matematika membantu kita memiliki pemikiran analitis

Kita dapat mendefinisikannya sebagai pemikiran yang diarahkan untuk menguraikan argumen di tempat atau ekspresi yang menyusunnya. Untuk melihat hubungan yang ada di antara mereka dan kesimpulannya, untuk menilai kebenaran atau keandalannya. Inilah yang kami lakukan ketika kami melakukan masalah matematika: mengumpulkan data. Lalu meruntuhkan propertinya, mengamati hubungan yang menjaga atau secara sistematis menyelesaikan bagian-bagian mereka secara rasional. Jika kita dapat memahami matematika dan sampai pada solusi logis. Kita akan dapat mempersiapkan pikiran kita ketika kita memiliki masalah nyata. Kita dapat mencari logika terbaik, melihat solusi yang mungkin. Dan menghubungkan data yang kita miliki untuk mencapai kesimpulan.

Pemikiran analitis mengembangkan kemampuan untuk menyelidiki dan mengetahui kebenaran tentang dunia di sekitar kita.

Ada kebenaran yang kami coba cari dan yang didasarkan pada bukti dan bukan pada emosi. Ini adalah pemikiran yang memungkinkan kita untuk waspada terhadap kesalahan diri kita sendiri dan orang lain, terhadap penipuan dan manipulasi. Ini dimungkinkan karena matematika memungkinkan kita untuk berpikir secara jelas dan logis, dengan mempertimbangkan data nyata dan yang dapat diverifikasi.

Matematika mengembangkan kemampuan berpikir

karena untuk menemukan solusinya, Anda harus memikirkan seluruh proses yang koheren. Dapat dikatakan bahwa matematika adalah dasar dalam pendidikan anak-anak karena matematika mengajarkan mereka untuk berpikir.

Berkat matematika, kita dapat menjelaskan bagaimana segala sesuatu bekerja

yaitu, kita dapat mengekspresikan pikiran dan ide kita dengan jelas, koherensi, dan presisi. Ini mendasar dan sangat positif sehingga semua yang lain memahami kita. Dan tahu bahwa kita adalah orang-orang yang berpikir jernih dan koheren. Cara kami memesan ide dan mengekspresikannya dengan benar adalah bagian besar dari citra kami.

Matematika mempromosikan kebijaksanaan

Matematika berlaku untuk ilmu-ilmu lain seperti dalam teknologi baru dan sangat hadir dalam kehidupan kita. Bahkan, banyak dari fenomena kehidupan kita sehari-hari diatur oleh ilmu pasti. Pengajaran matematika membantu dan memungkinkan siswa untuk dapat mencapai keyakinan mereka sendiri. Karena mengajarkan mereka bahwa untuk memecahkan masalah harus mencapai kebenaran, yang tidak ada keraguan karena itu obyektif dan logis.

Matematika mempercepat pikiran kita dan membantu kita

Secara umum, untuk memperdalam dan berpikir ketika kita dihadapkan dengan masalah yang kompleks. Kehidupan kita sebagian besar terdiri dari situasi pilihan, pendekatan, penalaran dan menghadapi masalah yang harus dicari solusinya. Dalam pengertian itu, matematika membantu Anda membuka pikiran dan memahami bahwa hanya ada satu cara untuk menyelesaikan masalah. Ini untuk menyelidiki dan akhirnya menyimpulkan.

Lebih penting dari matematika

Ketika datang ke pendidikan, salah satu masalah terbesar saat ini adalah bahwa siswa sekolah menengah tidak mengambil matematika cukup serius. Mereka sama sekali tidak tertarik dengan subjek ini. Meskipun fakta bahwa ilmu struktural ini dapat memberi mereka pekerjaan bergaji baik dalam bidang teknik, statistik, pendidikan, dan teknologi.

Remaja melihat matematika sebagai sesuatu yang membosankan, sulit dan tidak relevan dengan kehidupan mereka. Dan tidak memperhitungkan semua manfaat yang dapat diberikan matematika di masa depan, seperti pilihan perguruan tinggi yang lebih besar. Atau seperti yang telah kami sebutkan, pekerjaan bergaji besar di profesi.

Kami memberikan 7 alasan lain mengapa anak Anda harus peduli dengan matematika dan mengapa itu penting untuk masa depannya:

Matematika membuat anak Anda lebih pintar

Matematika untuk belajar sama dengan kekuatan dan daya tahan untuk olahraga. Dasar yang memungkinkan anak Anda melampaui orang lain dan dirinya sendiri. Anak Anda tidak dapat menjadi bintang olahraga besar jika ia tidak kuat dan memiliki masalah dengan kesehatannya. Anak Anda tidak dapat menjadi otoritas dalam pekerjaannya atau menonjol dalam profesinya suatu hari. Jika ia tidak berpikir cerdas dan kritis. Dan matematika, sebagian besar, dapat membantunya.

Dapat menghasilkan uang dengan matematika

Mari kita hadapi itu, tidak setiap anak ditakdirkan untuk menjadi pemenang faktor-X atau proyek serupa. Bahkan mereka yang untuk waktu yang singkat tidak dapat menikmati kemuliaan. Dan dengan demikian mengamankan masa depan yang cerah. Biasanya, setelah beberapa saat, mereka kembali ke sekolah untuk menyelesaikan beberapa pendidikan dan untuk membangun karir mereka. Yakinkan anak Anda untuk melewati beberapa audisi dan beberapa permainan olahraga, dan alih-alih mengerjakan PR matematika. Oleh karena itu, Anda akan memberinya dukungan yang cukup untuk mengamankan pekerjaan yang akan memberinya masa depan yang cerah. Dan penghasilan yang stabil, lebih stabil daripada penghasilan penyanyi dan bintang olahraga. Mungkin ini tidak terjadi pada awal karirnya, tetapi tentu realistis untuk berpikir demikian.

Matematika sangat penting agar tidak kehilangan uang

Ketika sekelompok orang yang dipercaya menghabiskan uang pada berbagai skema piramida. Berpikir bahwa mereka akan menghasilkan banyak uang, mereka melakukannya terutama karena matematika mereka bukan sisi terkuat mereka. Khususnya, jika Anda sedikit terbiasa dengan statistik dan perhitungan bunga. Dengan cara yang sangat mudah Anda akan mengenali penipuan ekonomi dan penjual kabut. Dengan bantuan sains seperti matematika, Anda akan terhindar dari pemborosan uang pada berbagai proyek. Dan tips yang Anda yakin dapat membantu Anda.

Matematika dapat memberi anak Anda tiket ke dunia

Kesadaran manusia global mengubah dunia tempat kita hidup. Anak-anak yang pandai dari Eropa Timur, India dan Cina mempertimbangkan matematika. Dan sains “berat” lainnya sebagai tiket keluar dari kemiskinan dan degradasi sosial. Tidakkah Anda berpikir bahwa bahkan anak Anda dapat memperoleh pengetahuan yang dibayar di mana-mana di dunia dalam berbagai pekerjaan?

Matematika sangat penting dalam dunia yang terus berubah

Teknologi baru mengubah cara kita bekerja dan hidup. Jika Anda tidak ingin anak Anda menggunakan beberapa instruksi atau terus-menerus membayar profesional agar tidak takut menekan tombol yang salah. Matematika dapat sangat berguna dalam memahami bagaimana dan mengapa segala sesuatunya bekerja dengan cara mereka bekerja.

Matematika akan lebih terwakili di masa depan

Apakah kita suka atau tidak, matematika menjadi faktor yang semakin penting dalam berbagai industri. Wartawan dan politisi masa depan akan lebih sedikit berbicara dan menganalisis lebih banyak. Polisi masa depan dan personil militer akan menggunakan teknologi yang tentu saja merupakan penemuan para ilmuwan. Guru dan perawat juga akan mengandalkan angka dan teknologi. Mekanik dan tukang kayu masa depan akan menggunakan optimasi elektronik dan analisis sebanyak mereka akan menggunakan palu dan kunci pas.

Matematika merupakan bagian besar dari kehidupan kita sehari-hari

Sebagai orang tua, Anda harus memberi perhatian pada anak Anda tentang semua manfaat yang diberikan kursus ini. Tentu saja, tidak semua orang perlu menjadi ahli matematika atau insinyur. Tetapi ilmu ini dapat memberikan masa depan yang cerah bagi anak Anda dapat membantunya dalam sejumlah besar situasi kehidupan untuk berpikir kritis. Menganalisis dan mengambil keputusan sebaik mungkin.

Untuk mengalami semua peluang yang disediakan matematika ini, pertama, Anda perlu membantu anak Anda mencintai matematika. Lakukan segala daya Anda untuk membantu anak Anda mencintai matematika.

Bagaimana Matematika Dapat Menyelamatkan Hidup Anda?

Matematika dan Fisika

Matematikawan dan astronom Italia. Galileo Galilei, sering dianggap mampu membedakan peran vital yang dimainkan matematika dalam upaya kami untuk memahami alam semesta. Dalam esai 1623 berjudul “Il Saggiatore” (“The Assayer”). Galileo membandingkan alam dengan sebuah buku yang dibukakan bagi kita untuk dibaca. Tetapi memperingatkan bahwa buku itu “tidak dapat dipahami kecuali seseorang yang pertama belajar memahami bahasa dan membaca surat-surat di mana ia disusun. Ini ditulis dalam bahasa matematika, dan karakternya adalah segitiga, lingkaran. Dan tokoh geometris lainnya yang tanpanya secara manusia mustahil untuk memahami satu kata pun darinya. Tanpa ini, seseorang berkeliaran di labirin yang gelap. ”

Pemikiran Galileo

Galileo terutama berpikir tentang astronomi dan fisika. Tetapi Kit Yates, seorang ahli biologi matematika di University of Bath di Inggris tidak melihat alasan untuk berhenti dengan ilmu fisika. Dalam buku barunya, “Matematika Kehidupan dan Kematian: 7 Prinsip Matematika yang Membentuk Kehidupan Kita”. Dia berpendapat bahwa matematika, secara singkat, di mana-mana. Dan, seperti judulnya, matematika penting. Kita perlu memahami bagaimana ledakan nuklir bekerja dan bagaimana penyebaran penyakit menular (dan bagaimana mereka dapat dihentikan). Kita membutuhkannya untuk memahami studi medis dan statistik kejahatan. Dan untuk mengevaluasi argumen yang dihadirkan pengacara di ruang sidang. Kita membutuhkannya untuk mengirim roket ke luar angkasa. Dan untuk memahami mengapa Mars Climate Orbiter NASA jatuh ke permukaan planet. (spoiler: NASA menggunakan angka metrik sementara salah satu kontraktornya menggunakan unit kekaisaran).

Meskipun ini adalah buku yang menyenangkan dan non-teknis (tidak ada persamaan), beberapa topik sangat serius. Ambil statistik kejahatan Amerika. Yates mengutip karya jurnalis Inggris bernama Rod Liddle. Dalam posting blog provokatif yang diterbitkan pada puncak gerakan Black Lives Matter. Liddle menyatakan bahwa bahaya terbesar bagi orang kulit hitam di AS adalah “orang kulit hitam lainnya”. Dia menulis, “Pembunuhan hitam-hitam rata-rata lebih dari 4.000 setiap tahun. Jumlah pria kulit hitam yang dibunuh oleh polisi AS. Benar atau salah – sedikit lebih dari 100 setiap tahun. Ayo, lakukan perhitungannya. ”

Percobaan

Dan begitu, Andrea melakukannya. Pertama-tama, angka-angka Liddle tidak aktif: Jumlah yang ia sebutkan untuk kejahatan yang disebut “hitam-hitam” dibesar-besarkan; pada saat yang sama, figurnya untuk orang kulit hitam yang dibunuh oleh polisi adalah sekitar sepertiga dari nilai sebenarnya. Tapi seperti yang ditunjukkan Andrea, ada juga masalah yang lebih dalam. Jumlah total orang yang terbunuh oleh polisi adalah rendah dalam hal keseluruhan kematian senjata. Tetapi masih “mengkhawatirkan,” sebagaimana ia katakan, bahwa begitu banyak korban penembakan polisi berkulit hitam.

Sampel

Selanjutnya angka berderak terjadi. Andrea menunjukkan bahwa tingkat di mana polisi membunuh orang kulit hitam Amerika hanya sedikit di bawah satu pembunuhan per 2.000 petugas polisi. Angka “lebih dari delapan kali lebih tinggi daripada angka untuk warga kulit hitam AS”. Dia menambahkan: “Tampaknya orang kulit hitam yang berjalan di jalan. Seharusnya lebih khawatir melihat seorang petugas polisi mendekat daripada orang kulit hitam lainnya”. Pemahaman yang lebih baik tentang beberapa matematika dasar membawa sedikit kejelasan untuk masalah yang sering penuh.

Dia menulis, “Ayo, lakukan matematika.” Dan begitu, Andrea melakukannya.

Topik serius lain yang ditangani Yates adalah epidemiologi, termasuk, misalnya, krisis Ebola yang menghancurkan Afrika Barat mulai tahun 2013. Bangsa-bangsa di luar Afrika dimengerti prihatin dengan penyakit yang mencapai pantai mereka, tetapi seberapa bahaya sebenarnya? Pemerintah Inggris mulai menyaring kedatangan dari negara-negara berisiko tinggi di bandara terbesar negara itu. Dan di terminal kereta Eurostar di London, tetapi tim ahli matematika Inggris menunjukkan bahwa ini adalah pendekatan yang tidak efektif.

Masa inkubasi penyakit (interval antara pajanan terhadap agen infeksi dan munculnya gejala pertama) ditentukan rata-rata sekitar 12 hari. Karena ini adalah waktu yang relatif lama dibandingkan dengan waktu perjalanan yang diperlukan seseorang untuk terbang dari satu benua ke benua lain. Bahkan jika seseorang yang terinfeksi Ebola tiba di London. Mereka kemungkinan tidak menunjukkan gejala (hanya 7 persen dari mereka yang terinfeksi akan terdeteksi pada perbatasan. Para ahli matematika menunjukkan).

Lebih baik mengatasi masalah pada sumbernya, menginvestasikan sumber daya di Afrika Barat dengan harapan dapat menahan wabah. Ini, Yates menulis, “adalah contoh intervensi matematika yang terbaik … representasi matematika sederhana dari situasi dapat memberi kita wawasan yang kuat dan membantu mengarahkan kebijakan.”

Perhitungan

Bab itu – yang juga membahas wabah SARS yang melanda Kanada pada tahun 2003. Berfungsi sebagai primer yang bermanfaat bagi siapa pun yang (seperti saya). Tidak tahu apa-apa tentang epidemiologi di luar apa yang mereka temui di media (atau di film thriller Hollywood seperti ” Penularan”).

Penyakit menular mana yang paling harus kita takuti? Seperti yang dijelaskan Andrea, mereka yang memiliki tingkat kematian tertinggi tidak lantas membunuh kebanyakan orang. Ilmu di balik ini sangat mudah: Jika suatu penyakit terlalu mematikan, ia membunuh korbannya sebelum mereka bisa menularkan penyakit itu. Jadi, yang harus kita takuti adalah penyakit-penyakit yang memiliki kombinasi antara kematian dan menular. Dia menunjukkan bahwa campak sangat menular. Setiap orang dengan penyakit ini biasanya menginfeksi 12 hingga 18 lainnya. Tetapi memiliki tingkat kematian yang relatif rendah. Ebola, sebaliknya, jauh lebih tidak menular. Rata-rata setiap pasien hanya menginfeksi 1,5 orang lain – tetapi jauh lebih mematikan. Membunuh lebih dari setengah dari mereka yang terinfeksi.

Di tengah deskripsi mengerikan penyakit ini, bagaimanapun, adalah sejumlah kecil kabar baik. “Penyakit yang membunuh sebagian besar orang yang mereka infeksi. Dan juga menyebar dengan efisien sangat jarang dan biasanya terbatas pada film bencana.”

Ada lebih banyak kunjungan yang menggembirakan juga. Misalkan Anda lapar, tetapi Anda berada di kota yang asing. Anda tiba di jalan dengan banyak restoran. Anda dapat membaca dengan teliti menu mereka satu per satu, tetapi seberapa jauh Anda harus pergi? (Saya tahu saya sudah berada dalam situasi ini berkali-kali dan saya akui saya tidak pernah memikirkannya dalam istilah matematika.) Misalkan ada 10 restoran. Kecil kemungkinan yang pertama terjadi adalah yang terbaik, jadi Anda terus maju. Tapi tidak perlu pergi jauh-jauh; setelah semua, itu sama tidak mungkin bahwa yang terakhir akan menjadi yang terbaik.

Strategi Baru

Andrea sangat banyak menjangkau mereka yang bergelut dengan matematika di sekolah; dia bahkan bersikeras bahwa “ini bukan buku matematika.”

Ternyata strategi Anda yang paling efisien adalah memeriksa 37 persen pertama restoran (jika ada 10, periksa tiga di antaranya). Dan kemudian pilih yang terbaik dari antara itu. Kenapa 37 persen? Angka ini sebenarnya 1 / e, di mana e adalah “angka Euler,” angka irasional yang kira-kira 2,718. (Penggemar matematika sejati mungkin kecewa bahwa Andrea menyajikan hasil ini. Tetapi tidak menurunkannya: untuk melakukannya ia mungkin harus melanggar kebijakan no-persamaannya.)

Keindahan dari solusi ini adalah bahwa itu berlaku jauh melampaui restoran. Ketika mencari garis terpendek di toko bahan makanan, Anda juga harus memeriksa sedikit lebih dari sepertiga dari garis. Saat berburu untuk gerbong paling tenang di kereta, Anda harus membatasi sepertiga dari gerbong. Dan seorang manajer yang bertugas merekrut harus mempertimbangkan setidaknya 37 persen pelamar pertama. (Tentu saja, manajer dapat memilih untuk lebih teliti dan mempertimbangkan semua pelamar. Namun, seperti yang dijelaskan Andrea. Kemungkinan seseorang di 63 persen terakhir secara signifikan lebih baik daripada kandidat terbaik di antara 37 persen awal sangat rendah. Ini adalah dalam kasus pengembalian yang semakin berkurang.) Bagaimanapun, setiap kali saya berbaris di toko kelontong, sekarang saya akan memikirkan ahli matematika Swiss abad ke-18 Leonhard Euler.

Hasil Akhir dan Dampaknya

Andrea sangat banyak menjangkau mereka yang bergelut dengan matematika di sekolah; dia bahkan bersikeras bahwa “ini bukan buku matematika.” Gaya bicaranya juga membantu. Tetapi saya perhatikan bahwa beberapa tanah yang dia tutupi sudah terinjak dengan baik. Pembaca buku Jeffrey Rosenthal 2010 “Struck by Lightning” mungkin menemukan beberapa tema Yates. Terutama diskusi tentang probabilitas dan statistiknya memiliki nada yang akrab. Beberapa pembaca akan menemukan sejarah jam dan ketepatan waktu yang sama akrabnya. Namun, ada banyak hal di sini untuk menghargai pembaca yang ingin tahu secara matematis; dan saya pikir Galileo akan senang melihat bahwa kami terus mendapat manfaat dari melihat dunia melalui lensa matematika.

Dua Bentuk Keindahan Matematika

Dua Bentuk Dalam Matematika

Praktik yang dihormati waktu dalam lingkaran matematika adalah membagi bidang menjadi dua. Ada argumen tradisional “terapan versus murni”, yang mencerminkan pemisahan eksperimental-teoretis dari disiplin lain.  Ketegangan antara memajukan pengetahuan menuju tujuan tertentu dan melakukannya demi kepentingannya sendiri. Atau kita dapat membagi dua matematika dengan cara yang sama seperti otak kita terpecah. Dengan “belahan otak kiri” aljabar yang berpikir dalam urutan logis dan “belahan kanan” geometris yang memiliki pendekatan yang lebih visual. Tetapi bidang ini juga rusak menurut perbedaan yang lebih halus: preferensi seseorang antara dua rasa keindahan matematika.

Sulit bagi nonexperts untuk melihat matematika seindah di tempat pertama. Keindahan ada di mata yang melihatnya, tentu saja, tetapi juga sulit untuk melihat kapan karya seni disembunyikan dalam kegelapan.  Dikaburkan oleh awan simbol dan jargon yang tidak bisa ditembus. Berusaha menghargai matematika tanpa memahami cara kerjanya seperti membaca deskripsi Beethoven’s Fifth Symphony alih-alih mendengarkannya.

Namun ahli matematika tidak memiliki keraguan untuk dengan tulus menggambarkan persamaan dan bukti mereka sebagai indah. Ini adalah perasaan estetika yang telah terbukti sangat universal, ada lintas budaya dan waktu. Seorang matematikawan Babilonia dan seorang siswa modern dapat menemukan kesenangan yang sama dalam mempelajari pengaturan garis yang sempurna dalam geometri bidang. Atau dalam menyelesaikan persamaan kuadrat.

Keindahan Dalam Dua Bentuk

Dan secara kasar, keindahan matematika bisa datang dalam satu dari dua bentuk, generik atau luar biasa. Saya akan mengatakan lebih jauh bahwa matematikawan sendiri datang dalam dua rasa ini juga. Setidaknya, mereka cenderung condong ke salah satu dari dua kutub.

Varian pertama adalah bentuk keindahan yang halus, tercermin dalam struktur dan pola formal. Ini adalah rasa takjub pada urutan yang tak terhindarkan di mana dunia matematika mengatur dirinya sendiri. Bayangkan betapa sempurna bilangan alami berbaris dalam baris yang tak terbatas. Atau pertimbangkan urutan ruang Euclidean dengan dimensi yang meningkat: garis, bidang, ruang, dll. Atau ketelitian dan ketepatan logika formal itu sendiri. Struktur ini sangat kuat dan berguna, dan dari sudut pandang tertentu yang memang bisa indah.

Ruang Vektor Memang Sulit

Tetapi bagi mereka yang berada di sisi lain kesenjangan. Yang, tampaknya, mencakup sebagian besar orang dan tentu saja sebagian besar non-matematikawan. Sulit untuk benar-benar bersemangat dengan konsep ruang vektor dalam dimensi n, atau fungsi kontinu pada kenyataan baris. Menghargai gagasan-gagasan ini berarti menghargai suatu bentuk abstraksi, dan rasa estetika ini sering terasa dingin dan formal. Ini keindahan ratu es, paling dikagumi dari jarak yang aman, tidak pernah dekat.

Bentuk kedua keindahan matematika lebih bisa diterima. Ini menyangkut perkecualian terhadap aturan, objek yang tidak masuk ke dalam kategori yang lebih besar. Ini adalah keingintahuan, satu kali, inkarnasi matematis dari fosil mempesona. Dan mineral aneh yang mengisi lemari sejarah alam di abad ke-17 dan ke-18. Keindahan ini memiliki perasaan yang sangat berbeda: Keindahan ini eksotis, aneh, intim – dan, tentu saja, sangat subyektif.

Pertimbangkan, misalnya, dodecahedron, objek favorit di banyak lemari keingintahuan matematika. Ini adalah padatan reguler yang dibangun dari 12 pentagon, dan itu adalah salah satu dari lima padatan simetris sempurna. Daya tariknya pernah digambarkan sebagai “rumit, tapi tidak terlalu rumit”. Bentuknya memiliki sejarah panjang sebagai simbol esoteris yang kembali ke Yunani kuno. Ketika Plato menyarankan hubungan antara lima benda, yang sekarang disebut benda padat Platonis, dan alam semesta fisik.

Penggambaran Dalam Bentuk dan Gerak

Dodecahedron melambangkan semua benda langit – bintang dan planet, masing-masing sempurna dalam bentuk dan gerakan. Sejak saat itu, bentuk matematika ini telah menandakan makhluk luar angkasa, dan itu menjadi simbol kesayangan para alkemis dan astrolog. Dari perspektif matematika modern masih dianggap luar biasa, salah satu dari hanya sedikit objek simetris yang sepenuhnya berdiri sendiri. Dan bukan bagian dari pola yang lebih besar. Misalnya, mudah untuk menggeneralisasi kubus atau tetrahedron ke objek analog dalam dimensi arbitrer. Tetapi tidak ada analog berdimensi lebih tinggi dari dodecahedron.

Ketidakcocokan matematis lain, kepemilikan hadiah untuk kabinet apa pun, hanya dikenal sebagai monster. Ini adalah blok bangunan luar biasa terbesar di mana semua kelompok simetri dapat dibangun. Sebuah keburukan matematika yang hanya dapat divisualisasikan dalam ruang tak kurang dari 196.883 dimensi. Tergantung pada selera Anda, grup monster adalah objek yang paling cantik atau paling jelek di semua matematika.

Kedua Jenis yang Telah Mempesona Para Ahli

Kedua jenis kecantikan ini telah memesona para matematikawan selama bertahun-tahun dan menyebabkan banyak kemajuan. Abstraksi jelas merupakan alat yang ampuh. Ini memungkinkan seseorang untuk berurusan dengan semua anggota keluarga sekaligus, dan menempatkan masalah dalam perspektif yang lebih luas. Matematikawan yang mengikuti ratu es sering tidak menyukai aplikasi konkret atau kasus khusus. Alexander Grothendieck, salah satu imam aljabar abstrak, pernah terkenal memilih 57 sebagai contoh bilangan prima. (Tidak.)

Daya tarik dengan orang-orang buangan matematika juga merupakan strategi yang produktif. Objek seperti itu sering hidup di persimpangan banyak ide. Dan dapat bertindak sebagai titik akses antara dunia yang sama sekali berbeda. Penggemar gaya ini tidak peduli pada “omong kosong abstrak” dan menghargai kekhasan kasus beton, kutil, dan semuanya.

Tetapi dunia nyata sangat berbeda dari lanskap matematika ideal. Sebagian besar ilmu ditambatkan ke alam semesta yang menggambarkan dunia nyata – tetapi itu hanya satu dari ketidakterbatasan kemungkinan matematika. Seperti yang dilaporkan Jean-Pierre Serre kepada gurunya yang ahli matematika Raoul Bott.  “Sementara ilmu-ilmu lain mencari aturan yang Tuhan pilih untuk Semesta ini. Kita ahli matematika mencari aturan yang bahkan Tuhan harus patuhi.”

Hukum Alam Semesta

Dihadapkan dengan pertanyaan eksistensial ini – hukum apa yang benar-benar diikuti oleh alam semesta? – Wajar bagi sebagian besar ilmuwan untuk tertarik pada pesona benda-benda luar biasa di kabinet. Tetapi sains telah mengajarkan kepada kita bahwa bentuk keindahan matematika yang abstrak. Dan keras seringkali menawarkan pilihan jangka panjang yang lebih aman.

Demonstrasi terkenal ini melibatkan penampilan padatan Platonis dalam karya awal astronom Johannes Kepler. Dia mengusulkan model tata surya yang mendasarkan jarak antara orbit planet pada konfigurasi tertentu dari lima padatan. Itu adalah ide yang indah, tetapi gagal. Kepler sendiri kemudian menolak model ini, setelah menyimpulkan bahwa orbit planet-planet itu tidak membentuk bentuk lingkaran sempurna yang tunggal. Tetapi sebaliknya memiliki penampilan elips yang jelek, yang dapat mengambil salah satu dari seluruh jajaran bentuk. Tampak langkah mundur yang pasti. Dia membandingkan penemuan ini dengan “gerobak penuh pupuk” yang tersisa di kandang sains Augean.

Pergerakan Tata Surya

Tetapi sementara Kepler awalnya disesatkan oleh kesukaannya akan benda-benda luar biasa. Isaac Newton akan terus menjelaskan orbit elips planet-planet berdasarkan pada teori gravitasi universalnya. Bahkan, ia menunjukkan bagaimana semua gerakan di surga adalah versi lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola. Keindahan terletak pada hukum abstrak Newton, bukan solusi spesifik.

Ini adalah pelajaran yang fisikawan, dan ilmuwan umumnya, telah pelajari berulang kali. Pada abad ke-19, para ilmuwan pindah dari koleksi acak keingintahuan kabinet ke studi yang lebih sistematis tentang dunia alami. Ahli biologi mulai mengumpulkan semua spesimen dalam kelompok organisme. Bukan hanya kupu-kupu atau burung yang paling indah, dan menemukan teori umum evolusi. Kimiawan mengklasifikasikan semua elemen, melampaui bling mudah perak dan emas, dan mengungkap pola tabel periodik dalam proses. Fisikawan kemudian mengungkap simetri partikel elementer yang tersembunyi di dalam atom elemen.

Setiap kali, mereka menemukan bahwa keindahan alam semesta terletak pada struktur abstrak yang mendasari fenomena fisik. Struktur-struktur ini mungkin awalnya terasa membingungkan dan sulit untuk dihubungkan. Tetapi mengambil pandangan jauh seringkali terbukti jauh lebih kuat dan bermakna. Dan, memang, lebih indah.