Dua Bentuk Dalam Matematika

Praktik yang dihormati waktu dalam lingkaran matematika adalah membagi bidang menjadi dua. Ada argumen tradisional “terapan versus murni”, yang mencerminkan pemisahan eksperimental-teoretis dari disiplin lain.  Ketegangan antara memajukan pengetahuan menuju tujuan tertentu dan melakukannya demi kepentingannya sendiri. Atau kita dapat membagi dua matematika dengan cara yang sama seperti otak kita terpecah. Dengan “belahan otak kiri” aljabar yang berpikir dalam urutan logis dan “belahan kanan” geometris yang memiliki pendekatan yang lebih visual. Tetapi bidang ini juga rusak menurut perbedaan yang lebih halus: preferensi seseorang antara dua rasa keindahan matematika.

Sulit bagi nonexperts untuk melihat matematika seindah di tempat pertama. Keindahan ada di mata yang melihatnya, tentu saja, tetapi juga sulit untuk melihat kapan karya seni disembunyikan dalam kegelapan.  Dikaburkan oleh awan simbol dan jargon yang tidak bisa ditembus. Berusaha menghargai matematika tanpa memahami cara kerjanya seperti membaca deskripsi Beethoven’s Fifth Symphony alih-alih mendengarkannya.

Namun ahli matematika tidak memiliki keraguan untuk dengan tulus menggambarkan persamaan dan bukti mereka sebagai indah. Ini adalah perasaan estetika yang telah terbukti sangat universal, ada lintas budaya dan waktu. Seorang matematikawan Babilonia dan seorang siswa modern dapat menemukan kesenangan yang sama dalam mempelajari pengaturan garis yang sempurna dalam geometri bidang. Atau dalam menyelesaikan persamaan kuadrat.

Keindahan Dalam Dua Bentuk

Dan secara kasar, keindahan matematika bisa datang dalam satu dari dua bentuk, generik atau luar biasa. Saya akan mengatakan lebih jauh bahwa matematikawan sendiri datang dalam dua rasa ini juga. Setidaknya, mereka cenderung condong ke salah satu dari dua kutub.

Varian pertama adalah bentuk keindahan yang halus, tercermin dalam struktur dan pola formal. Ini adalah rasa takjub pada urutan yang tak terhindarkan di mana dunia matematika mengatur dirinya sendiri. Bayangkan betapa sempurna bilangan alami berbaris dalam baris yang tak terbatas. Atau pertimbangkan urutan ruang Euclidean dengan dimensi yang meningkat: garis, bidang, ruang, dll. Atau ketelitian dan ketepatan logika formal itu sendiri. Struktur ini sangat kuat dan berguna, dan dari sudut pandang tertentu yang memang bisa indah.

Ruang Vektor Memang Sulit

Tetapi bagi mereka yang berada di sisi lain kesenjangan. Yang, tampaknya, mencakup sebagian besar orang dan tentu saja sebagian besar non-matematikawan. Sulit untuk benar-benar bersemangat dengan konsep ruang vektor dalam dimensi n, atau fungsi kontinu pada kenyataan baris. Menghargai gagasan-gagasan ini berarti menghargai suatu bentuk abstraksi, dan rasa estetika ini sering terasa dingin dan formal. Ini keindahan ratu es, paling dikagumi dari jarak yang aman, tidak pernah dekat.

Bentuk kedua keindahan matematika lebih bisa diterima. Ini menyangkut perkecualian terhadap aturan, objek yang tidak masuk ke dalam kategori yang lebih besar. Ini adalah keingintahuan, satu kali, inkarnasi matematis dari fosil mempesona. Dan mineral aneh yang mengisi lemari sejarah alam di abad ke-17 dan ke-18. Keindahan ini memiliki perasaan yang sangat berbeda: Keindahan ini eksotis, aneh, intim – dan, tentu saja, sangat subyektif.

Pertimbangkan, misalnya, dodecahedron, objek favorit di banyak lemari keingintahuan matematika. Ini adalah padatan reguler yang dibangun dari 12 pentagon, dan itu adalah salah satu dari lima padatan simetris sempurna. Daya tariknya pernah digambarkan sebagai “rumit, tapi tidak terlalu rumit”. Bentuknya memiliki sejarah panjang sebagai simbol esoteris yang kembali ke Yunani kuno. Ketika Plato menyarankan hubungan antara lima benda, yang sekarang disebut benda padat Platonis, dan alam semesta fisik.

Penggambaran Dalam Bentuk dan Gerak

Dodecahedron melambangkan semua benda langit – bintang dan planet, masing-masing sempurna dalam bentuk dan gerakan. Sejak saat itu, bentuk matematika ini telah menandakan makhluk luar angkasa, dan itu menjadi simbol kesayangan para alkemis dan astrolog. Dari perspektif matematika modern masih dianggap luar biasa, salah satu dari hanya sedikit objek simetris yang sepenuhnya berdiri sendiri. Dan bukan bagian dari pola yang lebih besar. Misalnya, mudah untuk menggeneralisasi kubus atau tetrahedron ke objek analog dalam dimensi arbitrer. Tetapi tidak ada analog berdimensi lebih tinggi dari dodecahedron.

Ketidakcocokan matematis lain, kepemilikan hadiah untuk kabinet apa pun, hanya dikenal sebagai monster. Ini adalah blok bangunan luar biasa terbesar di mana semua kelompok simetri dapat dibangun. Sebuah keburukan matematika yang hanya dapat divisualisasikan dalam ruang tak kurang dari 196.883 dimensi. Tergantung pada selera Anda, grup monster adalah objek yang paling cantik atau paling jelek di semua matematika.

Kedua Jenis yang Telah Mempesona Para Ahli

Kedua jenis kecantikan ini telah memesona para matematikawan selama bertahun-tahun dan menyebabkan banyak kemajuan. Abstraksi jelas merupakan alat yang ampuh. Ini memungkinkan seseorang untuk berurusan dengan semua anggota keluarga sekaligus, dan menempatkan masalah dalam perspektif yang lebih luas. Matematikawan yang mengikuti ratu es sering tidak menyukai aplikasi konkret atau kasus khusus. Alexander Grothendieck, salah satu imam aljabar abstrak, pernah terkenal memilih 57 sebagai contoh bilangan prima. (Tidak.)

Daya tarik dengan orang-orang buangan matematika juga merupakan strategi yang produktif. Objek seperti itu sering hidup di persimpangan banyak ide. Dan dapat bertindak sebagai titik akses antara dunia yang sama sekali berbeda. Penggemar gaya ini tidak peduli pada “omong kosong abstrak” dan menghargai kekhasan kasus beton, kutil, dan semuanya.

Tetapi dunia nyata sangat berbeda dari lanskap matematika ideal. Sebagian besar ilmu ditambatkan ke alam semesta yang menggambarkan dunia nyata – tetapi itu hanya satu dari ketidakterbatasan kemungkinan matematika. Seperti yang dilaporkan Jean-Pierre Serre kepada gurunya yang ahli matematika Raoul Bott.  “Sementara ilmu-ilmu lain mencari aturan yang Tuhan pilih untuk Semesta ini. Kita ahli matematika mencari aturan yang bahkan Tuhan harus patuhi.”

Hukum Alam Semesta

Dihadapkan dengan pertanyaan eksistensial ini – hukum apa yang benar-benar diikuti oleh alam semesta? – Wajar bagi sebagian besar ilmuwan untuk tertarik pada pesona benda-benda luar biasa di kabinet. Tetapi sains telah mengajarkan kepada kita bahwa bentuk keindahan matematika yang abstrak. Dan keras seringkali menawarkan pilihan jangka panjang yang lebih aman.

Demonstrasi terkenal ini melibatkan penampilan padatan Platonis dalam karya awal astronom Johannes Kepler. Dia mengusulkan model tata surya yang mendasarkan jarak antara orbit planet pada konfigurasi tertentu dari lima padatan. Itu adalah ide yang indah, tetapi gagal. Kepler sendiri kemudian menolak model ini, setelah menyimpulkan bahwa orbit planet-planet itu tidak membentuk bentuk lingkaran sempurna yang tunggal. Tetapi sebaliknya memiliki penampilan elips yang jelek, yang dapat mengambil salah satu dari seluruh jajaran bentuk. Tampak langkah mundur yang pasti. Dia membandingkan penemuan ini dengan “gerobak penuh pupuk” yang tersisa di kandang sains Augean.

Pergerakan Tata Surya

Tetapi sementara Kepler awalnya disesatkan oleh kesukaannya akan benda-benda luar biasa. Isaac Newton akan terus menjelaskan orbit elips planet-planet berdasarkan pada teori gravitasi universalnya. Bahkan, ia menunjukkan bagaimana semua gerakan di surga adalah versi lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola. Keindahan terletak pada hukum abstrak Newton, bukan solusi spesifik.

Ini adalah pelajaran yang fisikawan, dan ilmuwan umumnya, telah pelajari berulang kali. Pada abad ke-19, para ilmuwan pindah dari koleksi acak keingintahuan kabinet ke studi yang lebih sistematis tentang dunia alami. Ahli biologi mulai mengumpulkan semua spesimen dalam kelompok organisme. Bukan hanya kupu-kupu atau burung yang paling indah, dan menemukan teori umum evolusi. Kimiawan mengklasifikasikan semua elemen, melampaui bling mudah perak dan emas, dan mengungkap pola tabel periodik dalam proses. Fisikawan kemudian mengungkap simetri partikel elementer yang tersembunyi di dalam atom elemen.

Setiap kali, mereka menemukan bahwa keindahan alam semesta terletak pada struktur abstrak yang mendasari fenomena fisik. Struktur-struktur ini mungkin awalnya terasa membingungkan dan sulit untuk dihubungkan. Tetapi mengambil pandangan jauh seringkali terbukti jauh lebih kuat dan bermakna. Dan, memang, lebih indah.