Identitas Euler adalah persamaan yang ditemukan dalam matematika yang telah dibandingkan dengan soneta Shakespeare. Dan digambarkan sebagai “persamaan yang paling indah”. Ini adalah kasus khusus dari persamaan dasar dalam aritmatika kompleks yang disebut Rumus Euler. Yang oleh fisikawan hebat Richard Feynman disebut dalam ceramahnya “permata kita” dan “rumus paling luar biasa dalam matematika.”

Dalam sebuah wawancara dengan BBC, Prof David Percy dari Institut Matematika dan Aplikasinya. Mengatakan bahwa Identitas Euler adalah “klasik nyata dan Anda tidak dapat melakukan yang lebih baik dari itu. Sederhana untuk dilihat namun sangat mendalam, ini terdiri dari lima konstanta matematika yang paling penting. ”

Identitas Euler ditulis sebagai: eiπ + 1 = 0

Lima konstanta tersebut adalah:

  • Angka 0.
  • Angka 1.
  • Angka π, sebuah bilangan irasional (dengan digit tak berujung) yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Sekitar 3,14159…
  • Angka e, juga merupakan angka irasional. Ini adalah basis logaritma natural yang muncul secara alami melalui studi bunga majemuk dan kalkulus. Angka e meliputi matematika, muncul entah dari mana dalam banyak persamaan penting. Sekitar 2,71828….
  • Angka i, didefinisikan sebagai akar kuadrat dari negatif: √ (-1). Bilangan imajiner yang paling mendasar, disebut demikian. Karena, pada kenyataannya, tidak ada bilangan yang dapat dikalikan dengan sendirinya untuk menghasilkan bilangan negatif. (Dan, oleh karena itu, bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat nyata). Tetapi dalam matematika, ada banyak situasi di mana seseorang dipaksa untuk mengambil akar kuadrat dari sebuah negatif. Oleh karena itu, huruf i digunakan sebagai semacam stand-in untuk menandai tempat di mana hal ini dilakukan.

Ahli Matematika yang Produktif

Leonhard Euler adalah matematikawan kelahiran Swiss abad ke-18 yang mengembangkan banyak konsep yang tidak terpisahkan dengan matematika modern. Dia menghabiskan sebagian besar karirnya di St. Petersburg, Rusia. Dia adalah salah satu ahli matematika paling produktif sepanjang masa, menurut U.S. Naval Academy (USNA), dengan 886 makalah dan buku yang diterbitkan. Banyak dari hasil karyanya datang selama dua dekade terakhir hidupnya, ketika dia benar-benar buta. Ada begitu banyak pekerjaan sehingga Akademi St. Petersburg terus menerbitkan karyanya secara anumerta selama lebih dari 30 tahun.

Kontribusi penting Euler termasuk Rumus Euler dan Teorema Euler, yang keduanya dapat berarti hal yang berbeda tergantung pada konteksnya. Menurut USNA, dalam mekanika, ada “sudut Euler (untuk menentukan orientasi benda kaku), teorema Euler (bahwa setiap rotasi memiliki sumbu). Persamaan Euler untuk gerakan fluida, dan persamaan Euler-Lagrange (yang berasal dari kalkulus variasi). ”

Mengalikan Bilangan Kompleks

Identitas Euler secara alami berasal dari interaksi bilangan kompleks. Yang merupakan bilangan yang terdiri dari dua bagian: bilangan real dan bilangan imajiner; contohnya adalah 4 + 3i. Bilangan kompleks muncul dalam banyak aplikasi seperti mekanika gelombang. (Studi dalam mekanika kuantum) dan desain sirkuit yang menggunakan arus bolak-balik (praktik umum dalam teknik kelistrikan). Selain itu, bilangan kompleks (dan sepupunya, bilangan kompleks hiper). Memiliki sifat yang membuatnya sangat berguna untuk mempelajari grafik komputer, robotika, navigasi, dinamika penerbangan, dan mekanika orbital. Mengalikannya akan menyebabkan bilangan tersebut berputar. Properti ini akan membantu kami memahami alasan di balik Identitas Euler.

Pada contoh di bawah, lima bilangan kompleks diplotkan pada bidang kompleks dan bersama-sama membentuk “bentuk rumah”. Bidang kompleks mirip dengan garis bilangan, hanya saja itu dua dimensi. Arah horizontal mewakili bilangan real dan sumbu vertikal mewakili bilangan imajiner. Setiap bilangan kompleks bentuk rumah dikalikan dengan bilangan kompleks 4 + 3i dan diplot ulang (panah hijau). [Terkait: Apa Itu Bilangan Kompleks?]

Seperti dapat dilihat, mengalikan dengan 4 + 3i menghasilkan bentuk rumah melebar. (Bertambah luas dan menjauh dari awal 0 + 0i dengan jumlah yang sama) dan berputar (menjadi miring oleh beberapa sudut). Untuk menunjukkan ini adalah efek mengalikan dengan 4 + 3i. Efek dari memperbesar rumah lima kali dan memutar sebesar 36,9 derajat juga ditampilkan (panah merah). Efek yang sama persis dihasilkan.

Jumlah dilatasi dan rotasi yang berbeda dapat menghasilkan efek perkalian dengan bilangan berapapun pada bidang kompleks.

Bentuk Kutub dari Bilangan Kompleks

Besarnya putaran dan dilatasi ditentukan oleh sifat-sifat intrinsik bilangan 4 + 3i. Yang terlihat pada gambar di bawah ini adalah lima satuan dari titik asal (r = 5). Dan membentuk sudut 36,9 derajat. Dengan sumbu horizontal ( φ = 36,9°). Pengukuran ini digunakan dalam apa yang dikenal sebagai bentuk kutub dari bilangan kompleks (reiφ). Sebagai lawan dari bentuk persegi panjang normal (a + bi).

Bentuk kutub mengharuskan φ diukur dalam radian. Satu radian (1rad) kira-kira 57,3 derajat; itu adalah ukuran sudut yang dibuat saat jari-jari lingkaran dibungkus dengan keliling lingkaran itu. Ukuran π radian membungkus setengah lingkaran; ukuran 2π radian membungkus lingkaran penuh.

Ukuran sudut untuk 4 + 3i adalah 0.644 radian (36.9° = 0.644rad). Yang berarti bentuk kutub dari 4 + 3i adalah 5ei0.644. Ukuran untuk r dan φ juga dapat ditentukan untuk masing-masing titik bentuk rumah. Dan cara lain untuk mencapai efek dilatasi/rotasi dari perkalian dengan 4 + 3i adalah mengalikan setiap r dengan lima. Dan menambahkan 36,9 derajat (atau 0,644 rad) untuk setiap φ. Dari demonstrasi ini, kita melihat bahwa ketika bilangan kompleks dikalikan bersama, jarak dikalikan dan sudut bertambah. Ini karena properti intrinsik terhadap eksponen, yang dapat ditampilkan secara aljabar.

Dengan terbentuknya bentuk kutub bilangan kompleks. Masalah Identitas Euler hanyalah kasus khusus a + bi untuk a = -1 dan b = 0. Akibatnya untuk bentuk kutub reiφ, hal ini membuat r = 1 dan φ = π ( karena πrad = 180 °).

Penurunan Bentuk Kutub

Meskipun Identitas Euler mengikuti bentuk kutub dari bilangan kompleks. Tidak mungkin untuk mendapatkan bentuk kutub (khususnya kemunculan spontan dari bilangan e) tanpa kalkulus.

Kami mulai dengan bentuk persegi panjang dari sebuah bilangan kompleks:

a + bi

Dari diagram dan trigonometri, kita dapat membuat substitusi sebagai berikut:

(r · cosφ) + (r · sinφ) i

Dari sini kita dapat memfaktorkan r:

r · (cosφ + i · sinφ)

Terkadang “cosφ + i · sinφ” dinamai cisφ, yang merupakan kependekan dari “cosinus plus sinus imajiner”.

r · cisφ

Jadi, persamaan r · cisφ ditulis dalam bentuk kutub standar r · eiφ.