Tag: Info Matematika

Mengapa Sejarah Matematika juga Sejarah Seni?

Sejarah Matematika juga Sejarah Seni

Dalam buku barunya Matematika dan Seni, sejarawan Lyn Gamwell mengeksplorasi. Dia mengeksplorasi bagaimana seniman selama ribuan tahun menggunakan konsep matematika.Seperti tak terhingga, bilangan dan bentuk dalam karya mereka. Di sini dia memilih sepuluh gambar menakjubkan dari bukunya yang mengungkapkan hubungan antara matematika dan seni.

Ketika saya menjadi mahasiswa pascasarjana dalam sejarah seni, saya membaca banyak penjelasan tentang seni abstrak. Tetapi mereka selalu tidak memadai dan menyesatkan. Jadi setelah menyelesaikan PhD saya, saya melanjutkan untuk mempelajari sejarah biologi, fisika, dan astronomi. Dan menerbitkan sebuah buku yang merinci bagaimana seni modern adalah ekspresi dari pandangan dunia ilmiah.

Namun banyak karya seni juga mengungkapkan matematika dan teknologi pada masanya. Untuk meneliti Matematika dan Seni, saya harus mempelajari konsep matematika seperti kalkulus, teori kelompok, dan logika predikat. Sebagai seorang pemula yang berjuang untuk memahami ide-ide ini, saya terkejut. Saya terkejut dengan kualitas yang buruk dan konten ilustrasi yang membingungkan di kebanyakan buku pendidikan. Jadi saya bersumpah untuk membuat untuk buku saya satu set diagram matematika. Saya bersumpah untuk meyakinkan yang merupakan visualisasi konsep abstrak yang sangat jelas.

Sebagai dosen di School of Visual Arts di Manhattan, saya menulis buku ini untuk murid-murid saya. Seperti Maria, yang mengatakan kepada saya bahwa dia tidak pernah pandai sejarah karena dia tidak dapat mengingat tanggal. Dan untuk Jin Sug, yang tidak lulus SMA aljabar karena dia tidak bisa menghafal rumus. Saya berharap mereka akan membaca buku ini dan menemukan bahwa sejarah adalah buku cerita. Dan matematika adalah tentang ide-ide yang menarik.

Berikut sepuluh gambar dengan deskripsi:

Eric J. Heller (Amerika, Lahir 1946)

Sepanjang sejarah, para ilmuwan telah menemukan pola matematis di alam. Seperti jalur yang terambil oleh elektron saat mereka mengalir di atas bukit dan lembah “lanskap” kecil yang terukur dalam mikron. Jalur elektron dalam cetakan digital ini tercatat oleh Eric J. Heller, yang mempelajari gelombang nakal (gelombang aneh, gelombang pembunuh) dalam skala besar dan kecil. Ketika gelombang elektron mengalir melalui komputer, gelombang aneh dalam semikonduktor tiba-tiba dapat mengancam kelancaran fungsi perangkat.

Jim Sanborn (Amerika, Lahir 1945)

Matematika Barat berkembang dengan meningkatkan abstraksi dan generalisasi. Pada masa Renaisans, arsitek Italia Filippo Brunelleschi menemukan perspektif linier. Metode untuk memproyeksikan objek geometris ke “bidang gambar” dari sudut pandang tertentu. Tiga abad kemudian, matematikawan Prancis Jean-Victor Poncelet menggeneralisasikan perspektif ke dalam geometri proyektif untuk bidang yang miring atau berotasi. Kemudian pada awal abad ke-20, orang Belanda LEJ Brouwer menggeneralisasi geometri proyektif Poncelet. Dia merubah menjadi proyeksi ke permukaan yang teregangkan atau didistorsi menjadi bentuk apa pun asalkan bidangnya tetap kontinu. Hal tersebut yang adalah subjek dari foto ini. Seniman kontemporer Jim Sanborn menciptakannya. Menciptakan dengan memproyeksikan pola lingkaran konsentris ke formasi batuan besar di malam hari dari jarak sekitar 1/2 mil. Dia kemudian mengambil foto ini dengan eksposur panjang saat bulan terbit.

Reza Sarhangi (Amerika Kelahiran Iran, Lahir 1952) Dan Robert Fathauer (Amerika, Lahir 1960)

Pengetahuan tentang matematika Yunani kuno, seperti Euclid dan Ptolemeus, hilang di abad pertengahan Barat. Tetapi para sarjana Islam mempertahankan tulisan mereka dalam terjemahan bahasa Arab. Pada abad kesembilan, khalifah mendirikan House of Wisdom di Baghdad sebagai tempat para sarjana memperoleh. Dan juga menerjemahkan teks asing dalam matematika dan filsafat. Karya tiga belas jilid Ptolemy sekarang terkenal dengan nama yang mereka berikan, Almagest (bahasa Arab untuk “yang terhebat”).

Dua matematikawan kontemporer, Reza Sarhangi dan Robert Fathauer, memberi penghormatan kepada matematikawan Islam Abū al-Wafā ‘Būzjānī (AD 940¬ – 98). Dia yang bekerja di House of Wisdom. Di mana ia menulis teks praktis, On That Parts of Geometry oleh kebutuhan pengrajin. Dia menunjukkan bagaimana membangun segi tujuh biasa (poligon dengan tujuh sisi dan sudut yang sama). Yang berada di bagian tengah cetakan ini. Di sekeliling segi tujuh Sarhangi dan Fathauer menulis nama Buzjani tujuh kali dalam bahasa Farsi, bahasa Persia (Iran modern).

Robert Bosch (Amerika, Lahir 1963)

Dengan perkembangan rel kereta api di abad kesembilan belas, topik menemukan rute yang optimal untuk sebuah perjalanan menjadi minat praktis. Topik tersebut memasuki literatur matematika pada tahun 1930. Ketika matematikawan Wina Karl Menger menggambarkannya sebagai “masalah pembawa pesan” ( das Botenproblem ) dalam menemukan rute pengiriman yang optimal. Itu segera terjuluki “masalah penjual keliling”. Terberi daftar kota dan jarak antara setiap pasangan. Temukan rute terpendek yang mengunjungi setiap kota satu kali dan kembali ke kota asal

Ahli matematika Amerika Robert Bosch menggambar garis kontinu ini berdasarkan solusi untuk contoh 5000 kota dari masalah penjual keliling. Dari kejauhan, cetakan itu tampak menggambarkan kabel hitam dengan latar belakang abu-abu dalam bentuk simpul Celtic. Namun jika kita amati lebih dekat pada gambar tersebut. “Abu-abu” yang tampak sebenarnya adalah garis putih terus menerus yang bergerak di atas latar belakang hitam. Garis putih tidak pernah memotong diri sendiri. Ini adalah jaringan, bukan simpul dan jawaban kecil untuk judulnya adalah “Tidak”.

 

Koneksi Matematika dengan Berbagai Cabang Ilmu Pengetahuan

Saya selalu terpesona oleh hubungan antara matematika dan disiplin ilmu lainnya. Dari pengalaman saya, siswa lebih termotivasi untuk belajar matematika ketika koneksi ini terbuat di dalam kelas. Artikel ini khusus untuk menghubungkan matematika dengan disiplin lain (sains, ilmu sosial, dll.) Dan dengan dunia nyata. Ini mencakup gagasan pengajaran serta tautan ke sumber daya terkait.

Matematika dan Sejarah Komputer

Siswa dapat menguji sistem bilangan biner. Mereka dapat melihat hubungan antara bilangan basis 2 dan bagaimana sirkuit komputer yang berkembangkan. Sejarah komputer dapat terpelajari dari penemuan ENIAC melalui perangkat nirkabel saat ini. Misalnya, Unit saya di Symbolic Logic menyediakan kerangka kerja yang sangat baik untuk sirkuit komputer. Saya mengajar kelas elektronik di sekolah menengah NY City pada tahun 1990. Saya mempresentasikan pelajaran tentang logika dan sirkuit Boolean. Secara khusus, saya memberikan pelajaran tentang gerbang seperti AND, OR, NAND, dan XOR.

Matematika dan Sains

Guru matematika dapat mengajar siswa tentang notasi eksponensial. Siswa menjadi mahir dalam membaca dan menulis bilangan dalam bentuk eksponensial. Mereka juga mahir dalam mengonversi bilangan antara bentuk eksponensial, faktor, dan standar. Mereka dapat menerapkan pengetahuan ini pada topik dalam sains. Misalnya, mereka dapat menuliskan jarak antara matahari dan setiap planet menggunakan notasi ilmiah. Untuk siswa tingkat lanjut, Anda dapat mengajari mereka tentang eksponen negatif. Kemudian mereka dapat menjelajahi waktu paruh elemen radioaktif tertentu, atau ukuran bakteri dan virus. Coba WebQuest kami tentang Eksponen dan Notasi Ilmiah.

Jelajahi banyak fakta ilmiah. Titik didih dan titik beku cairan, titik leleh dan titik beku zat padat. Lihat pula suhu planet, di myWebQuest on Integers and Science.

Apakah Anda pernah ke taman bermain belakangan ini? Anda akan menemukan banyak hubungan antara aljabar, sains, dan dunia nyata dalam artikel kami yang berjudul Mengapa Belajar Aljabar?

Matematika dan Ilmu Sosial

Setelah mengajar Unit tentang Grafik, Anda dapat meminta siswa Anda menerapkan keterampilan ini ke topik dalam Ilmu Sosial. Misalnya, mereka dapat menggambar grafik batang untuk membandingkan Populasi, Pendapatan Per Kapita, dan Kepadatan Populasi dari berbagai negara. Untuk hubungan lain antara matematika dan studi sosial, coba Unit on Integers.

Matematika dan Olahraga

Siswa dapat menghitung persentase menang-kalahnya permainan yang termainkan oleh tim olahraga favorit mereka. Mereka dapat menemukan data tentang tim di sekolah mereka. Mereka dapat menemukan data untuk tim profesional secara online dan di surat kabar. Anda dapat membawa aktivitas ini ke lab komputer dengan menempatkan semua data dalam spreadsheet. Formula dapat berguna untuk menghitung persen menang-rugi. Coba pelajaran interaktif kami tentang Memahami Persen. Kemudian Jelajahi Persentase Menang-Kalah, Data Grafik untuk Olimpiade dan Super Bowl, Rata-rata Batting dan ERA. Ada pula Lotre Draf NBA dengan Webquests saya tentang Matematika dan Olahraga. Anda juga dapat memainkan Game Sepak Bola Integer unik saya.

Matematika dan Teknologi

Ada dua pendekatan utama untuk menangani teknologi di kelas matematika. Anda dapat mengintegrasikan matematika dan teknologi, menjadikan topik ini sebagai objek pengajaran. Misalnya, kesalahan pembulatan terjelaskan di bawah ini. Anda juga dapat menggunakan teknologi untuk memfasilitasi pembelajaran matematika. Misalnya, penggunaan iPod, papan tulis interaktif, atau perangkat lain, seperti yang terjelaskan di halaman Matematika dan Teknologi kami.

Misalnya, Anda membagi pembilang pecahan dengan penyebutnya. Hasilnya adalah desimal berulang. Maka kalkulator Anda tidak akan menampilkan hasil dengan akurasi 100%. Ini karena desimal berulang memiliki jumlah digit yang tak terbatas dan kalkulator hanya dapat menghitung hingga jumlah digit yang terbatas. Fenomena ini, yang terkenal sebagai kesalahan pembulatan, juga berlaku untuk komputer. Anda dapat menggunakan topik ini untuk mengintegrasikan matematika dan teknologi di kelas Anda. Siswa akan mengagumi cara kalkulator dan komputer yang berbeda menampilkan hasil yang berbeda-beda. Khususnya ketika mereka bereksperimen dengan pecahan seperti 2/3, 5/6 atau 8/9. Baca ide pengajaran kreatif kami yang berjudul: Mengulangi Desimal dan Monster yang Tidak Akan Mati.

Matematika dan Menulis

Salah satu hal yang metekankan oleh tes standar adalah kemampuan menjawab soal terbuka. Biasanya, siswa di minta memberikan penjelasan tertulis untuk solusi masalah matematika. Ini menilai kemampuan mereka untuk mengekspresikan ide matematika mereka dalam bentuk tertulis. Untuk membantu mereka mempersiapkan jenis pertanyaan ini, saya melakukan proyek matematika yang melibatkan menulis. Saya meminta siswa untuk menjawab beberapa pertanyaan terbuka menggunakan kalimat lengkap. Guru matematika dapat menilai siswa berdasarkan ketepatan matematika dari jawaban mereka. Seni Bahasa atau Guru Bahasa Inggris dapat menilai mereka berdasarkan ejaan dan tata bahasa. Beberapa contoh pertanyaan tersedia di Kegiatan Kelas dan Ide Proyek untuk Teori Bilangan dan Pemahaman Persen. Siswa juga dapat menjawab pertanyaan dalam Number Theory WebQuest kami menggunakan kalimat lengkap.

Lebah Mampu Memahami Matematika, Ungkap Penelitian

Lebah Mampu Memahami Matematika

Ilmuwan melatih lebah untuk menambah dan mengurangi bentuk berwarna, menunjukkan kemampuan untuk melakukan perhitungan atis s

Lebah mampu memahami ide-ide matematika dasar, menurut sebuah penelitian baru, yang menunjukkan bahwa otak kecil mungkin tidak berarti kecerdasan rendah. 

Setelah melatih sekelompok ilmuwan serangga penyerbuk di Pusat Penelitian Ilmiah Nasional Prancis. Para Peneliti tersebut menemukan bahwa mereka mampu melakukan penjumlahan dan pengurangan.

Kemampuan ini membutuhkan hewan untuk melakukan proses rumit di otak mereka. Hal tersebut mengingat aturan rumit sambil menerapkannya pada situasi baru.

Oleh karena itu, matematika sejak lama dianggap sebagai kemampuan yang unik bagi manusia. Tetapi dalam beberapa tahun terakhir percobaan telah menunjukkan bahwa keterampilan tersebut ditemukan di seluruh dunia hewan salah satunya adalah lebah.

Simpanse, burung beo, dan merpati hanyalah beberapa makhluk yang telah terbukti menunjukkan kemampuan untuk menambah dan mengurangi.

Dalam studi terbaru ini, tim peneliti yang dipimpin oleh Dr Scarlett Howard. Pertama kali mengajari lebah mereka untuk mengenali warna sebagai simbol untuk penambahan atau pengurangan. Secara khusus, biru berarti “lebih banyak” dan kuning berarti “lebih sedikit”.

Kemampuan Kombinasi

Selanjutnya, lebah tersbut mereka latih untuk memasuki labirin berbentuk Y di mana mereka harus membuat pilihan antara dua set bentuk.

Dalam setiap kasus, jika mereka (para lebah) membuat pilihan yang benar. Lebah penelitian tersebut diberi hadiah air gula. Sedangkan pilihan yang salah akan menghasilkan cairan kina yang rasanya pahit bagi para lebah tersebut.

Di pintu masuk labirin, mereka para lebah penelitian ini bertemu dengan antara satu dan lima bentuk, berwarna biru atau kuning.

Selanjutnya mereka para lebah terbang ke sebuah ruangan di mana mereka bisa terbang menuju jumlah bentuk asli. Plus atau minus satu, atau jumlah bentuk yang salah.

Jika mereka pertama kali menemukan warna biru, mereka harus menambahkan, dan jika kuning mereka harus mengurangi.

Selama 100 percobaan, para peneliti melatih 14 lebah untuk memilih opsi yang benar sekitar 75 persen dari waktu, tulis para ilmuwan saat mereka menerbitkan temuan mereka di jurnal Science Advances

Sama Seperti Konsep Pembelajaan Anak-anak

Dr Howard membandingkan eksperimen tersebut dengan pembelajaran pertama manusia untuk menghubungkan simbol matematika dengan konsep. Konsep pembelajaan yang biasanya diajarkan kepada anak-anak di rumah.

Dr Howard mengatakan bahwa. “Kami belajar sebagai anak-anak bahwa simbol plus berarti Anda perlu menambahkan dua atau lebih jumlah. Sedangkan simbol minus berarti Anda mengurangi”.

Profesor Adrian Dyer, salah seorang peneliti yang berkontribusi pada penelitian tersebut, menambahkan. “Penemuan kami menunjukkan bahwa kognisi numerik tingkat lanjut dapat ditemukan jauh lebih luas. Kognisi numerik ditemukan di alam di antara hewan non-manusia daripada yang diduga sebelumnya. Jika matematika tidak membutuhkan volume otak yang besar. Mungkin juga ada cara baru bagi kami untuk memasukkan interaksi aturan jangka panjang. Interaksi aturan jangka panjang dan memori kerja ke dalam desain untuk meningkatkan pembelajaran AI yang cepat dari masalah baru. ”

Ini bukan pertama kalinya lebah mendemonstrasikan cara dengan angka

Pada percobaan sebelumnya telah menunjukkan hasil bahwa serangga mampu menghitung sampai empat, dan bahkan memahami konsep nol.

Pekerjaan yang dilakukan oleh Dr Howard beserta dengan tim penelitinya menunjukkan hasil. Hasil bahwa ketika lebah diberi insentif untuk memilih target dengan bentuk yang lebih sedikit. Mereka mengenali bahwa target tanpa bentuk memiliki kurang dari satu dengan dua atau tiga.

Ini adalah pertama kalinya seekor avertebrata terbukti memahami gagasan abstrak tentang nol. Penelitian tersebut menyimpulkan bahwa lebah memahami konsep nol. Sebuah konsep yang bahkan lebih sulit dipahami oleh manusia daripada bilangan lain.

Meskipun hasil penelitian ini menunjukan lebah memiliki kemampuan menghitung. Kemampuan untuk melakukan perhitungan semacam ini mungkin tidak langsung berguna bagi para lebah. Kekuatan otak yang lebih baik dan canggih seperti dapat menghitung seperti apa yang dikatakan dalam penelitian ini. Kemampuan tersebut dapat membantu mereka saat mencari makan bunga untuk mengingat berbagai kombinasi warna dan bentuk.

 

Matematikawan Inggris Memenangkan Hadiah Terkaya di Bidang Akademis

Martin Hairer Menerima Hadiah Terobosan $3 Juta untuk Pekerjaan yang Menurut Seorang Kolega Pasti Dilakukan oleh Alien.

Seorang ahli matematika yang menjinakkan keluarga persamaan. Mimpi buruk yang berperilaku begitu buruk sehingga tidak masuk akal telah memenangkan hadiah paling menguntungkan di dunia akademis.

Martin Hairer, seorang peneliti Austria-Inggris di Imperial College London. Harier adalah pemenang hadiah Terobosan 2021 untuk matematika. Penghargaan tahunan $3 juta (£2,3 juta) yang telah menyaingi para Nobel dalam hal pujian dan prestise.

Hairer mendapatkan hadiah untuk karyanya tentang analisis stokastik. Bidang yang menggambarkan bagaimana efek acak mengubah matematika dari hal-hal seperti mengaduk secangkir teh. Atau penyebaran tetesan air yang jatuh pada tisu menjadi masalah yang sangat kompleks.

Karya utamanya, risalah setebal 180 halaman yang memperkenalkan dunia pada “struktur keteraturan”. Begitu mengejutkan rekan-rekannya sehingga ada yang menyarankan bahwa itu pasti telah dikirim ke Hairer oleh peradaban alien yang lebih cerdas.

Hairer, yang menyewa sebuah flat di London bersama istri dan sesama matematikawan Imperial, Xue-Mei Li. Mendengar bahwa dia telah memenangkan hadiah melalui panggilan Skype saat Inggris masih terkunci. “Itu benar-benar tidak terduga,” katanya. “Aku tidak memikirkannya sama sekali, jadi itu sangat mengejutkan. Kami tidak bisa keluar atau apa pun, jadi kami merayakannya di rumah. ”

Pemenang Lainnya

Penghargaan ini adalah salah satu dari beberapa hadiah Terobosan yang diumumkan setiap tahun. Penghargaan yang diberikan oleh yayasan yang didirikan oleh investor Israel-Rusia Yuri Milner dan Mark Zuckerberg dari Facebook. Sebuah komite penerima sebelumnya memilih para pemenang yang semuanya adalah pemimpin terkemuka dalam matematika dan sains.

Pemenang lain yang diumumkan pada hari Kamis termasuk ilmuwan Hong Kong, Dennis Lo. Mereka terinspirasi film Harry Potter untuk mengembangkan tes mutasi genetik pada DNA yang dilepaskan oleh bayi yang belum lahir. Tim fisikawan yang eksperimennya mengungkapkan bahwa dimensi ekstra dari kenyataannya ada, mereka meringkuk lebih kecil dari sepertiga lebar rambut.

Pemenang lainnya, Catherine Dulac di Universitas Harvard. Telah membalikkan kesalahpahaman seputar peran sebagai orang tua. Dengan menunjukkan bahwa sirkuit saraf untuk perilaku ibu dan ayah ditemukan pada pria dan wanita.

Sepak Terjang Harier

Hairer dibesarkan di Jenewa di mana ia segera membuktikan dirinya sebagai bakat langka. Entri untuk kompetisi sains sekolah menjadi Amadeus “pisau tentara Swiss untuk pengeditan suara”. Sekarang digunakan dalam bentuk yang diperbarui oleh produser musik dan desainer game. Dia masih memelihara perangkat lunak sebagai sampingan untuk pekerjaan akademisnya.

Setelah bermain-main dengan fisika di universitas, Hairer pindah ke matematika. Kesadaran bahwa gagasan-gagasan dalam fisika teoretis dapat dijungkirbalikkan dan dengan cepat dibuang ke tempat sampah tidak menarik. “Saya tidak benar-benar ingin menempatkan nama saya pada hasil yang dapat digantikan oleh hal lain tiga tahun kemudian,” katanya. “Dalam matematika, jika Anda memperoleh hasil maka itu saja. Ini adalah universalitas matematika, Anda menemukan kebenaran mutlak. ”

Penemuan Harier

Keahlian Hairer terletak pada persamaan diferensial parsial stokastik. Sebuah cabang matematika yang menjelaskan bagaimana keacakan melemparkan ketidakteraturan ke dalam proses. Seperti pergerakan angin di terowongan angin atau batas merayap dari tetesan air yang mendarat di jaringan. Ketika keacakan cukup kuat, solusi persamaan menjadi tidak terkendali. “Dalam beberapa kasus, solusi berfluktuasi begitu liar sehingga tidak jelas apa arti persamaan itu sejak awal,” katanya.

Dengan penemuan struktur keteraturan, Hairer menunjukkan derau tak terhingga yang melemparkan persamaannya ke dalam kekacauan dapat dibingkai ulang dan dijinakkan. Ketika dia menerbitkan teori pada tahun 2014, itu langsung membuat heboh. “Seperti orang lain, saya kagum melihat teori seperti ini. Bekerja secara rinci dari awal, dengan beberapa preseden”. Kata Jeremy Quastel, seorang matematikawan di Universitas Toronto yang pertama kali merenungkan asal usul teori itu dari luar bumi.

Sementara rekan-rekannya menganggap Hairer jenius, dia mengakui matematika bisa menyebalkan. “Seringkali itu tidak berhasil. Seperti yang bisa dibuktikan oleh setiap mahasiswa pascasarjana dalam matematika. Selama PhD Anda mungkin menghabiskan dua pertiga waktu Anda terjebak dan membenturkan kepala ke dinding. ”

Rejeki nomplok Hairer belum masuk ke rekening banknya, tetapi jika itu terjadi, hidupnya akan berubah. “Kami pindah ke London baru-baru ini, tiga tahun lalu, dan kami masih menyewa. Jadi mungkin sudah waktunya beli tempat tinggal, ”ujarnya.

11 Persamaan Matematika Terindah

11 Persamaan Matematika Terindah

Persamaan matematika tidak hanya berguna – banyak juga yang cukup indah. Dan banyak ilmuwan mengakui bahwa mereka sering menyukai formula tertentu tidak hanya karena fungsinya. Tetapi juga karena bentuknya, dan kebenaran puitis sederhana yang dikandungnya.

Sementara persamaan terkenal tertentu, seperti Albert Einstein E = mc^2. Memonopoli sebagian besar kemuliaan publik, banyak rumus yang kurang dikenal memiliki juara di antara para ilmuwan. LiveScience bertanya kepada fisikawan, astronom, dan ahli matematika tentang persamaan favorit mereka. Inilah yang kami temukan:

Relativitas Umum

Persamaan di atas dirumuskan oleh Einstein sebagai bagian dari teori relativitas umum yang inovatif pada tahun 1915. Teori itu merevolusi cara ilmuwan memahami gravitasi dengan menggambarkan gaya sebagai lengkungan struktur ruang dan waktu.

“Sungguh menakjubkan bagi saya bahwa satu persamaan matematika seperti itu dapat menggambarkan tentang apakah ruang-waktu itu”. Kata astrofisikawan Institut Sains Teleskop Luar Angkasa Mario Livio, yang menominasikan persamaan itu sebagai favoritnya. “Semua kejeniusan sejati Einstein terwujud dalam persamaan ini.”

“Sisi kanan persamaan ini menjelaskan kandungan energi alam semesta kita. (Termasuk ‘energi gelap’ yang mendorong percepatan kosmik saat ini)” jelas Livio. “Sisi kiri menggambarkan geometri ruang-waktu. Persamaan tersebut mencerminkan fakta bahwa dalam relativitas umum Einstein. Massa dan energi menentukan geometri, dan bersamaan dengan kelengkungan. Yang merupakan manifestasi dari apa yang kita sebut gravitasi.”

“Ini persamaan yang sangat elegan,” kata Kyle Cranmer, fisikawan di Universitas New York. Menambahkan bahwa persamaan tersebut mengungkapkan hubungan antara ruang-waktu dan materi dan energi. “Persamaan ini memberi tahu Anda bagaimana mereka terkait. Bagaimana kehadiran matahari membelokkan ruang-waktu sehingga Bumi bergerak mengelilinginya dalam orbit, dll. Persamaan ini juga memberi tahu Anda bagaimana alam semesta berevolusi sejak Big Bang. Dan memprediksi bahwa seharusnya ada lubang hitam.”

Model Standar

Teori utama fisika lainnya. Model standar menggambarkan kumpulan partikel fundamental yang saat ini dianggap membentuk alam semesta kita.

Teori ini dapat dirangkum dalam persamaan utama yang disebut model standar Lagrangian. (Dinamai menurut ahli matematika dan astronom Prancis abad ke-18 Joseph Louis Lagrange). Dipilih oleh fisikawan teoretis Lance Dixon dari SLAC National Accelerator Laboratory di California sebagai rumus favoritnya.

“Ini telah berhasil menggambarkan semua partikel dasar dan gaya yang telah kami amati di laboratorium sampai saat ini – kecuali gravitasi,” kata Dixon LiveScience. “Itu termasuk, tentu saja, Higgs (seperti) boson, phi yang baru-baru ini ditemukan dalam rumusnya. Ini sepenuhnya konsisten dengan mekanika kuantum dan relativitas khusus.”

Akan tetapi, teori model standar belum disatukan dengan relativitas umum. Itulah sebabnya ia tidak dapat menggambarkan gravitasi.

Kalkulus

Sementara dua persamaan pertama mendeskripsikan aspek-aspek tertentu dari alam semesta kita, persamaan favorit lainnya dapat diterapkan pada segala macam situasi. Teorema fundamental kalkulus membentuk tulang punggung metode matematika yang dikenal sebagai kalkulus. Dan menghubungkan dua gagasan utamanya, konsep integral dan konsep turunan.

“Dengan kata sederhana, [itu] mengatakan bahwa perubahan bersih dari kuantitas halus dan kontinu, seperti jarak yang ditempuh, selama interval waktu tertentu (yaitu perbedaan nilai kuantitas pada titik akhir interval waktu) sama dengan integral laju perubahan kuantitas itu, yaitu integral kecepatan,” kata Melkana Brakalova-Trevithick, ketua jurusan matematika di Universitas Fordham, yang memilih persamaan ini sebagai favoritnya. “Teorema dasar kalkulus (FTC) memungkinkan kita untuk menentukan perubahan bersih selama interval berdasarkan tingkat perubahan selama seluruh interval.”

Benih kalkulus dimulai pada zaman kuno, tetapi sebagian besar disatukan pada abad ke-17 oleh Isaac Newton. Yang menggunakan kalkulus untuk menggambarkan gerakan planet-planet di sekitar matahari.

Teori Pitagoras

Persamaan “kuno tapi bagus” adalah teorema Pythagoras yang terkenal, yang dipelajari setiap siswa geometri pemula.

Rumus ini menguraikan bagaimana, untuk segitiga siku-siku apa pun, kuadrat dari panjang hipotenusa, c, (sisi terpanjang segitiga siku-siku). Sama dengan jumlah kuadrat dari panjang kedua sisi lainnya (a dan b ). Jadi, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2

“Fakta matematika pertama yang membuat saya takjub adalah teorema Pythagoras,” kata matematikawan Daina Taimina dari Cornell University. “Saat itu saya masih kecil dan menurut saya sangat menakjubkan bahwa ia bekerja dalam geometri dan bekerja dengan angka!”

1 = 0,9999999999….

Persamaan sederhana ini, yang menyatakan bahwa kuantitas 0,999, yang diikuti oleh untaian sembilan tak hingga. Setara dengan satu, adalah favorit matematikawan Steven Strogatz dari Cornell University.

“Saya suka betapa sederhananya ini – semua orang mengerti apa yang dikatakannya – namun betapa provokatifnya itu,” kata Strogatz. “Banyak orang tidak percaya itu benar. Itu juga sangat seimbang. Sisi kiri melambangkan permulaan matematika; sisi kanan melambangkan misteri ketidakterbatasan.”

Relativitas Khusus

Einstein membuat daftar itu lagi dengan rumusnya untuk relativitas khusus, yang menjelaskan bagaimana ruang dan waktu bukanlah konsep absolut. Melainkan relatif bergantung pada kecepatan pengamat. Persamaan di atas menunjukkan bagaimana waktu melebar, atau melambat, semakin cepat seseorang bergerak ke segala arah.

“Intinya adalah sangat sederhana,” kata Bill Murray, fisikawan partikel di laboratorium CERN di Jenewa. “Tidak ada yang tidak bisa dilakukan oleh siswa tingkat A, tidak ada turunan kompleks dan jejak aljabar. Tapi yang diwujudkannya adalah cara pandang yang sama sekali baru terhadap dunia, seluruh sikap terhadap realitas dan hubungan kita dengannya. Tiba-tiba, kaku kosmos yang tidak berubah tersapu dan diganti dengan dunia pribadi, terkait dengan apa yang Anda amati. Anda berpindah dari berada di luar alam semesta, melihat ke bawah, ke salah satu komponen di dalamnya. Tetapi konsep dan matematika dapat dipahami oleh siapa saja yang menginginkan.”

Murray mengatakan dia lebih suka persamaan relativitas khusus daripada rumus yang lebih rumit dalam teori Einstein selanjutnya. “Saya tidak pernah bisa mengikuti matematika relativitas umum,” katanya.

Persamaan Euler

Rumus sederhana ini merangkum sesuatu yang murni tentang sifat bola:

“Dikatakan bahwa jika Anda memotong permukaan bola menjadi wajah, tepi dan simpul. Dan F adalah jumlah sisi, E jumlah sisi dan V jumlah simpul. Anda akan selalu mendapatkan V – E + F = 2,” kata Colin Adams. Beliau adalah matematikawan di Williams College di Massachusetts.

Jadi misalnya tetrahedron yang terdiri dari empat segitiga, enam sisi, dan empat simpul, jelas Adams. “Jika Anda meniup dengan keras menjadi tetrahedron dengan permukaan yang fleksibel. Anda dapat membulatkannya menjadi sebuah bola. Jadi dalam pengertian itu, sebuah bola dapat dipotong menjadi empat sisi, enam sisi dan empat simpul. Dan kita melihat bahwa V – E + F = 2. Pegangan yang sama untuk piramida dengan lima sisi – empat segitiga, dan satu persegi – delapan sisi dan lima simpul.”

Dikombinasi dengan wajah, sisi, dan simpul lainnya. “Fakta yang sangat keren! Kombinatorik dari simpul, tepi, dan permukaan menangkap sesuatu yang sangat mendasar tentang bentuk bola,” kata Adams.

Persamaan Euler-Lagrange dan Teorema Noether

“Ini sangat abstrak, tapi sangat kuat,” kata Cranmer dari NYU. “Hal yang keren adalah bahwa cara berpikir tentang fisika ini telah bertahan dari beberapa revolusi besar dalam fisika. Seperti mekanika kuantum, relativitas, dll.”

Di sini, L adalah singkatan dari Lagrangian, yang merupakan ukuran energi dalam sistem fisik. Seperti pegas, atau pengungkit atau partikel fundamental. “Memecahkan persamaan ini memberi tahu Anda bagaimana sistem akan berkembang seiring waktu,” kata Cranmer.

Sebuah spin-off persamaan Lagrangian disebut teorema Noether, diambil dari nama matematikawan Jerman abad ke-20, Emmy Noether. “Teorema ini sangat fundamental bagi fisika dan peran simetri,” kata Cranmer. Secara informal, teorema adalah bahwa jika sistem Anda memiliki simetri, maka ada hukum kekekalan yang sesuai. Sebagai contoh, gagasan bahwa hukum dasar fisika sama dengan hari ini (simetri waktu) menyiratkan bahwa energi dikonservasi. Gagasan bahwa hukum fisika di sini sama dengan hukum di luar angkasa menyiratkan bahwa momentum dilestarikan. Simetri mungkin adalah konsep penggerak dalam fisika fundamental, terutama karena kontribusi [Noether].”

Persamaan Callan-Symanzik

“Persamaan Callan-Symanzik adalah persamaan prinsip-prinsip penting dari tahun 1970. Penting untuk menggambarkan bagaimana ekspektasi naif akan gagal di dunia kuantum,” kata fisikawan teoritis Matt Strassler dari Universitas Rutgers.

Persamaan ini memiliki banyak aplikasi, termasuk memungkinkan fisikawan memperkirakan massa dan ukuran proton dan neutron, yang menyusun inti atom.

Fisika dasar memberi tahu kita bahwa gaya gravitasi, dan gaya listrik. Antara dua benda sebanding dengan kuadrat jarak di antara keduanya. Pada tingkat sederhana, hal yang sama berlaku untuk gaya nuklir kuat. Yang mengikat proton dan neutron bersama-sama untuk membentuk inti atom. Dan yang mengikat kuark menjadi satu untuk membentuk proton dan neutron. Namun, fluktuasi kuantum kecil dapat sedikit mengubah ketergantungan gaya pada jarak, yang memiliki konsekuensi dramatis bagi gaya nuklir kuat.

“Ini mencegah gaya ini berkurang pada jarak jauh, dan menyebabkannya menjebak quark. Dan menggabungkannya untuk membentuk proton dan neutron dunia kita,” kata Strassler. “Apa yang dilakukan persamaan Callan-Symanzik adalah menghubungkan efek dramatis dan sulit dihitung ini, penting ketika [jarak] kira-kira seukuran proton, dengan efek yang lebih halus tetapi lebih mudah dihitung yang dapat diukur saat [ jaraknya] jauh lebih kecil dari proton.”

Persamaan Permukaan Minimal

“Persamaan permukaan minimal entah bagaimana menyandikan film sabun indah yang terbentuk pada batas kawat. Saat Anda mencelupkannya ke dalam air sabun,” kata ahli matematika Frank Morgan dari Williams College. “Fakta bahwa persamaannya adalah ‘nonlinier’, yang melibatkan kekuatan dan produk turunan, adalah petunjuk matematika berkode untuk perilaku mengejutkan film sabun. Hal ini berbeda dengan persamaan diferensial parsial linier yang lebih dikenal, seperti persamaan panas. Persamaan gelombang, dan persamaan Schrödinger dari fisika kuantum.”

Garis Euler

Glen Whitney, pendiri Museum of Math di New York, memilih teorema geometris lain, yang satu ini berkaitan dengan garis Euler. Dinamai menurut ahli matematika dan fisikawan Swiss abad ke-18 Leonhard Euler.

“Mulailah dengan segitiga apa saja,” jelas Whitney. “Gambarkan lingkaran terkecil yang berisi segitiga dan temukan pusatnya. Temukan pusat massa segitiga – titik di mana segitiga, jika dipotong dari selembar kertas, akan seimbang pada sebuah peniti. Gambarkan tiga ketinggian dari segitiga tersebut. Segitiga  adalah garis dari setiap sudut tegak lurus ke sisi yang berlawanan. Temukan titik di mana mereka semua bertemu. Teorema adalah bahwa ketiga titik yang baru saja Anda temukan selalu terletak pada satu garis lurus. Yang disebut ‘garis Euler’ dari segitiga.”

Whitney mengatakan teorema merangkum keindahan dan kekuatan matematika, yang sering mengungkapkan pola mengejutkan dalam bentuk yang sederhana dan familiar.

10 Ahli Matematika Terbaik

Alex Bellos mengkategorikan ilmuan matematika cerdas yang ilmunya berguna di seluruh dunia.

1. Pythagoras (sekitar 570-495 S.M.)

Pemimpin mistik vegetarian dan obsesif terhadap angka. Dia berutang kedudukannya sebagai nama paling terkenal dalam matematika karena teorema tentang segitiga siku-siku. Meskipun sekarang tampaknya itu mungkin mendahuluinya. Dia tinggal dalam komunitas di mana angka dihormati karena kualitas spiritualnya dan matematika. Peninggian angka-angka sebagai esensi dunia membuatnya menjadi primogenitor utama matematika Yunani, pada dasarnya awal matematika seperti yang kita kenal sekarang. Dan, yang terkenal, dia tidak makan kacang.

2. Hypatia (sekitar 360-415)

Ilmuan matematika

Perempuan kurang terwakili dalam matematika, namun sejarah subjek tidak hanya laki-laki. Hypatia adalah seorang sarjana di perpustakaan Alexandria pada abad ke-4 M. Warisan ilmiahnya yang paling berharga adalah versi editannya dari Euclid’s The Elements, teks matematika Yunani yang paling penting. Dan salah satu versi standar selama berabad-abad setelah kematiannya yang sangat mengerikan. Dia dibunuh oleh gerombolan Kristen yang menelanjanginya, mengupasnya. daging dengan pecahan tembikar dan merobek anggota tubuhnya.

3. Girolamo Cardano (1501-1576)

Polymath Italia yang dengannya istilah manusia Renaisans dapat ditemukan. Berprofesi dokter, dan penulis 131 buku. Dia juga seorang penjudi kompulsif. Kebiasaan terakhir inilah yang membawanya pada analisis ilmiah pertama tentang probabilitas. Dia menyadari dia bisa menang lebih banyak di meja dicing jika dia mengungkapkan kemungkinan kejadian kebetulan menggunakan angka. Ini adalah ide revolusioner, dan itu mengarah pada teori probabilitas. Yang pada gilirannya menyebabkan lahirnya statistik, pemasaran, industri asuransi, dan ramalan cuaca.

4. Leonhard Euler (1707-1783)

Ahli matematika paling produktif sepanjang masa, menerbitkan hampir 900 buku. Ketika dia menjadi buta di akhir usia 50-an, produktivitasnya di banyak bidang meningkat. Rumusnya yang terkenal eiπ + 1 = 0, di mana e adalah konstanta matematika yang kadang-kadang dikenal sebagai bilangan Euler. Dan i adalah akar kuadrat dari minus satu, secara luas dianggap sebagai yang terindah dalam matematika. Dia kemudian tertarik pada kotak Latin. Kisi di mana setiap baris dan kolom berisi setiap anggota dari satu set angka atau objek satu kali. Tanpa pekerjaan ini, kita mungkin tidak memiliki sudoku.

5. Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Dikenal sebagai pangeran ahli matematika, Gauss memberikan kontribusi yang signifikan pada sebagian besar bidang matematika abad ke-19. Seorang perfeksionis yang obsesif, dia tidak mempublikasikan banyak karyanya, lebih suka mengerjakan ulang dan memperbaiki teorema terlebih dahulu. Penemuan revolusionernya atas ruang non-Euclidean (bahwa secara matematis konsisten bahwa garis paralel dapat menyimpang) ditemukan dalam catatannya setelah kematiannya. Selama analisisnya terhadap data astronomi, dia menyadari bahwa kesalahan pengukuran menghasilkan kurva lonceng. Dan bentuk itu sekarang dikenal sebagai distribusi Gaussian.

6. Georg Cantor (1845-1918)

Dari semua ahli matematika hebat, Dia seorang jenius dan penyanyi paling sempurna yang memenuhi stereotip (Hollywood). Dalam matematika dan penyakit mental entah bagaimana tidak dapat dipisahkan. Wawasan Cantor yang paling cemerlang adalah mengembangkan cara untuk berbicara tentang ketidakterbatasan matematika. Teori himpunannya mengarah pada penemuan kontra-intuitif bahwa beberapa infinitas lebih besar dari yang lain. Hasilnya luar biasa. Sayangnya, dia mengalami gangguan mental dan sering dirawat di rumah sakit. Ia pun terpaku pada pembuktian bahwa karya Shakespeare sebenarnya ditulis oleh Francis Bacon.

7. Paul Erdös (1913-1996)

Erdös menjalani kehidupan nomaden, tanpa kepemilikan. Berpindah dari satu universitas ke universitas lain, dari kamar cadangan rekan kerja ke hotel konferensi. Dia jarang menerbitkan sendiri, lebih suka berkolaborasi. Dia menulis sekitar 1.500 makalah, dengan 511 kolaborator. Menjadikannya ahli matematika paling produktif kedua setelah Euler. Sebagai penghormatan yang lucu, sebuah “Erdös number” diberikan kepada ahli matematika sesuai dengan kedekatan kolaboratif mereka dengannya. No 1 untuk mereka yang telah menulis makalah dengannya. Dan No 2 untuk mereka yang telah menulis dengan ahli matematika dengan Erdös No 1, dan seterusnya.

8. John Horton Conway (lahir tahun 1937)

Liverpudlian terkenal karena matematika serius yang berasal dari analisisnya tentang game dan teka-teki. Pada tahun 1970, dia membuat aturan untuk Game of Life. Sebuah permainan di mana Anda melihat bagaimana pola sel berevolusi dalam sebuah grid. Ilmuwan komputer awal suka bermain Life, mendapatkan status bintang Conway. Dia telah memberikan kontribusi penting pada banyak cabang matematika murni, seperti teori grup, teori bilangan, dan geometri bersama kolaborator. Juga menghasilkan konsep yang terdengar indah seperti bilangan surealis, antiprisme agung, dan nonsen yang mengerikan.

9. Grigori Perelman (lahir tahun 1966)

Perelman dianugerahi $1 juta bulan lalu karena membuktikan salah satu pertanyaan terbuka paling terkenal dalam matematika, Poincaré Conjecture. Tapi petapa Rusia itu menolak menerima uang tunai itu. Dia telah menolak penghargaan matematika paling bergengsi, Fields Medal pada tahun 2006. “Jika buktinya benar maka tidak diperlukan pengakuan lain,” katanya. The Poincaré Conjecture pertama kali dinyatakan pada tahun 1904 oleh Henri Poincaré dan menyangkut perilaku bentuk dalam tiga dimensi. Perelman saat ini menganggur dan hidup hemat bersama ibunya di St Petersburg.

10. Terry Tao (lahir tahun 1975)

Seorang Australia keturunan Cina yang tinggal di AS, Tao juga memenangkan (dan menerima) Fields Medal pada tahun 2006. Bersama dengan Ben Green, dia membuktikan hasil yang luar biasa tentang bilangan prima. Bahwa Anda dapat menemukan urutan bilangan prima. Dengan panjang berapa pun yang mana setiap angka dalam urutan adalah jarak tetap yang terpisah. Misalnya, deret 3, 7, 11 memiliki tiga bilangan prima dengan jarak 4 terpisah. Urutan 11, 17, 23, 29 memiliki empat bilangan prima yang terpisah 6. Sementara urutan seperti ini dengan panjang berapa pun ada. Tidak ada yang menemukan jumlah yang lebih dari 25 bilangan prima. Karena bilangan prima pada saat itu lebih dari 18 digit.

Identitas Euler: ‘Persamaan Terindah’

Identitas Euler adalah persamaan yang ditemukan dalam matematika yang telah dibandingkan dengan soneta Shakespeare. Dan digambarkan sebagai “persamaan yang paling indah”. Ini adalah kasus khusus dari persamaan dasar dalam aritmatika kompleks yang disebut Rumus Euler. Yang oleh fisikawan hebat Richard Feynman disebut dalam ceramahnya “permata kita” dan “rumus paling luar biasa dalam matematika.”

Dalam sebuah wawancara dengan BBC, Prof David Percy dari Institut Matematika dan Aplikasinya. Mengatakan bahwa Identitas Euler adalah “klasik nyata dan Anda tidak dapat melakukan yang lebih baik dari itu. Sederhana untuk dilihat namun sangat mendalam, ini terdiri dari lima konstanta matematika yang paling penting. ”

Identitas Euler ditulis sebagai: eiπ + 1 = 0

Lima konstanta tersebut adalah:

  • Angka 0.
  • Angka 1.
  • Angka π, sebuah bilangan irasional (dengan digit tak berujung) yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Sekitar 3,14159…
  • Angka e, juga merupakan angka irasional. Ini adalah basis logaritma natural yang muncul secara alami melalui studi bunga majemuk dan kalkulus. Angka e meliputi matematika, muncul entah dari mana dalam banyak persamaan penting. Sekitar 2,71828….
  • Angka i, didefinisikan sebagai akar kuadrat dari negatif: √ (-1). Bilangan imajiner yang paling mendasar, disebut demikian. Karena, pada kenyataannya, tidak ada bilangan yang dapat dikalikan dengan sendirinya untuk menghasilkan bilangan negatif. (Dan, oleh karena itu, bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat nyata). Tetapi dalam matematika, ada banyak situasi di mana seseorang dipaksa untuk mengambil akar kuadrat dari sebuah negatif. Oleh karena itu, huruf i digunakan sebagai semacam stand-in untuk menandai tempat di mana hal ini dilakukan.

Ahli Matematika yang Produktif

Leonhard Euler adalah matematikawan kelahiran Swiss abad ke-18 yang mengembangkan banyak konsep yang tidak terpisahkan dengan matematika modern. Dia menghabiskan sebagian besar karirnya di St. Petersburg, Rusia. Dia adalah salah satu ahli matematika paling produktif sepanjang masa, menurut U.S. Naval Academy (USNA), dengan 886 makalah dan buku yang diterbitkan. Banyak dari hasil karyanya datang selama dua dekade terakhir hidupnya, ketika dia benar-benar buta. Ada begitu banyak pekerjaan sehingga Akademi St. Petersburg terus menerbitkan karyanya secara anumerta selama lebih dari 30 tahun.

Kontribusi penting Euler termasuk Rumus Euler dan Teorema Euler, yang keduanya dapat berarti hal yang berbeda tergantung pada konteksnya. Menurut USNA, dalam mekanika, ada “sudut Euler (untuk menentukan orientasi benda kaku), teorema Euler (bahwa setiap rotasi memiliki sumbu). Persamaan Euler untuk gerakan fluida, dan persamaan Euler-Lagrange (yang berasal dari kalkulus variasi). ”

Mengalikan Bilangan Kompleks

Identitas Euler secara alami berasal dari interaksi bilangan kompleks. Yang merupakan bilangan yang terdiri dari dua bagian: bilangan real dan bilangan imajiner; contohnya adalah 4 + 3i. Bilangan kompleks muncul dalam banyak aplikasi seperti mekanika gelombang. (Studi dalam mekanika kuantum) dan desain sirkuit yang menggunakan arus bolak-balik (praktik umum dalam teknik kelistrikan). Selain itu, bilangan kompleks (dan sepupunya, bilangan kompleks hiper). Memiliki sifat yang membuatnya sangat berguna untuk mempelajari grafik komputer, robotika, navigasi, dinamika penerbangan, dan mekanika orbital. Mengalikannya akan menyebabkan bilangan tersebut berputar. Properti ini akan membantu kami memahami alasan di balik Identitas Euler.

Pada contoh di bawah, lima bilangan kompleks diplotkan pada bidang kompleks dan bersama-sama membentuk “bentuk rumah”. Bidang kompleks mirip dengan garis bilangan, hanya saja itu dua dimensi. Arah horizontal mewakili bilangan real dan sumbu vertikal mewakili bilangan imajiner. Setiap bilangan kompleks bentuk rumah dikalikan dengan bilangan kompleks 4 + 3i dan diplot ulang (panah hijau). [Terkait: Apa Itu Bilangan Kompleks?]

Seperti dapat dilihat, mengalikan dengan 4 + 3i menghasilkan bentuk rumah melebar. (Bertambah luas dan menjauh dari awal 0 + 0i dengan jumlah yang sama) dan berputar (menjadi miring oleh beberapa sudut). Untuk menunjukkan ini adalah efek mengalikan dengan 4 + 3i. Efek dari memperbesar rumah lima kali dan memutar sebesar 36,9 derajat juga ditampilkan (panah merah). Efek yang sama persis dihasilkan.

Jumlah dilatasi dan rotasi yang berbeda dapat menghasilkan efek perkalian dengan bilangan berapapun pada bidang kompleks.

Bentuk Kutub dari Bilangan Kompleks

Besarnya putaran dan dilatasi ditentukan oleh sifat-sifat intrinsik bilangan 4 + 3i. Yang terlihat pada gambar di bawah ini adalah lima satuan dari titik asal (r = 5). Dan membentuk sudut 36,9 derajat. Dengan sumbu horizontal ( φ = 36,9°). Pengukuran ini digunakan dalam apa yang dikenal sebagai bentuk kutub dari bilangan kompleks (reiφ). Sebagai lawan dari bentuk persegi panjang normal (a + bi).

Bentuk kutub mengharuskan φ diukur dalam radian. Satu radian (1rad) kira-kira 57,3 derajat; itu adalah ukuran sudut yang dibuat saat jari-jari lingkaran dibungkus dengan keliling lingkaran itu. Ukuran π radian membungkus setengah lingkaran; ukuran 2π radian membungkus lingkaran penuh.

Ukuran sudut untuk 4 + 3i adalah 0.644 radian (36.9° = 0.644rad). Yang berarti bentuk kutub dari 4 + 3i adalah 5ei0.644. Ukuran untuk r dan φ juga dapat ditentukan untuk masing-masing titik bentuk rumah. Dan cara lain untuk mencapai efek dilatasi/rotasi dari perkalian dengan 4 + 3i adalah mengalikan setiap r dengan lima. Dan menambahkan 36,9 derajat (atau 0,644 rad) untuk setiap φ. Dari demonstrasi ini, kita melihat bahwa ketika bilangan kompleks dikalikan bersama, jarak dikalikan dan sudut bertambah. Ini karena properti intrinsik terhadap eksponen, yang dapat ditampilkan secara aljabar.

Dengan terbentuknya bentuk kutub bilangan kompleks. Masalah Identitas Euler hanyalah kasus khusus a + bi untuk a = -1 dan b = 0. Akibatnya untuk bentuk kutub reiφ, hal ini membuat r = 1 dan φ = π ( karena πrad = 180 °).

Penurunan Bentuk Kutub

Meskipun Identitas Euler mengikuti bentuk kutub dari bilangan kompleks. Tidak mungkin untuk mendapatkan bentuk kutub (khususnya kemunculan spontan dari bilangan e) tanpa kalkulus.

Kami mulai dengan bentuk persegi panjang dari sebuah bilangan kompleks:

a + bi

Dari diagram dan trigonometri, kita dapat membuat substitusi sebagai berikut:

(r · cosφ) + (r · sinφ) i

Dari sini kita dapat memfaktorkan r:

r · (cosφ + i · sinφ)

Terkadang “cosφ + i · sinφ” dinamai cisφ, yang merupakan kependekan dari “cosinus plus sinus imajiner”.

r · cisφ

Jadi, persamaan r · cisφ ditulis dalam bentuk kutub standar r · eiφ.