Tag: Matematika Unik

5 Fakta Matematika yang Benar-benar Memukau

5 Fakta Matematika yang Benar-benar Memukau

Tidak banyak yang secerdas Einstein. Tetapi ternyata beberapa wilayah global memiliki rata-rata IQ lebih tinggi daripada yang lain. Dan para ilmuwan mulai mencari tahu mengapa.

Membosankan atau Tidak?

Matematika adalah satu-satunya bidang pengetahuan yang secara obyektif dapat digambarkan sebagai “benar”, karena teorema-teoremanya diturunkan dari logika murni. Namun, pada saat yang sama, teorema tersebut seringkali sangat aneh dan kontra-intuitif.

Beberapa orang menganggap matematika itu membosankan. Seperti yang ditunjukkan oleh contoh-contoh ini, itu tidak lain.

Pola Acak

Anehnya, data acak sebenarnya tidak terlalu acak. Dalam daftar angka yang mewakili apa pun mulai dari harga saham hingga populasi kota hingga ketinggian bangunan hingga panjang sungai. Sekitar 30 persen dari angka-angka tersebut akan dimulai dengan digit 1. Lebih sedikit dari mereka akan dimulai dengan 2, bahkan kurang dengan 3, dan seterusnya. Hingga hanya satu angka dari dua puluh yang akan dimulai dengan 9. Semakin besar kumpulan datanya, dan semakin banyak urutan besarnya, semakin kuat pola ini muncul.

Prime Spirals

Karena bilangan prima tidak dapat dibagi (kecuali 1 dan dirinya sendiri), dan karena semua bilangan lain dapat ditulis sebagai kelipatannya. Bilangan tersebut sering dianggap sebagai “atom” dalam dunia matematika. Meskipun penting, distribusi bilangan prima di antara bilangan bulat masih menjadi misteri. Tidak ada pola yang menentukan bilangan mana yang akan menjadi bilangan prima atau seberapa jauh bilangan prima yang berurutan.

Keacakan bilangan prima yang tampak membuat pola yang ditemukan pada “ulam spiral” memang sangat aneh.

Pada tahun 1963, matematikawan Stanislaw Ulam melihat pola aneh saat mencoret-coret di buku catatannya selama presentasi. Ketika bilangan bulat ditulis dalam bentuk spiral, bilangan prima sepertinya selalu berada di sepanjang garis diagonal. Ini sendiri tidak terlalu mengejutkan, karena semua bilangan prima kecuali bilangan 2 adalah ganjil. Dan garis diagonal dalam spiral bilangan bulat adalah ganjil dan genap secara bergantian. Yang jauh lebih mengejutkan adalah kecenderungan bilangan prima untuk berada di beberapa diagonal lebih banyak daripada yang lain. Dan ini terjadi terlepas dari apakah Anda memulai dengan 1 di tengah, atau bilangan lainnya.

Bahkan saat Anda memperkecil ke skala yang jauh lebih besar. Seperti pada plot ratusan angka di bawah, Anda dapat melihat garis diagonal yang jelas dari bilangan prima (titik hitam). Dengan beberapa garis lebih kuat dari yang lain. Ada dugaan matematis mengapa pola prima ini muncul, tetapi tidak ada yang terbukti.

Sphere Eversion

Dalam bidang penting matematika yang disebut topologi, dua objek dianggap setara, atau “homeomorfik”. Jika salah satu dapat diubah menjadi objek lain hanya dengan memutar dan merentangkan permukaannya; keduanya berbeda jika Anda harus memotong atau melipat permukaan salah satu untuk membentuknya kembali menjadi bentuk yang lain.

Pertimbangkan, misalnya, sebuah torus – objek berbentuk dougnut yang ditampilkan di slide intro. Jika Anda memutarnya ke atas, memperlebar satu sisi dan menjorok ke atas sisi itu. Anda akan mendapatkan objek silinder dengan pegangan. Jadi, lelucon matematika klasik adalah mengatakan bahwa ahli topologi tidak dapat membedakan donat mereka dari cangkir kopi mereka.

Di sisi lain, band Moebius – loop dengan satu lilitan di dalamnya – tidak homeomorfik dengan loop bebas puntir (silinder). Karena Anda tidak dapat melepaskan lilitan dari band Moebius tanpa memotongnya, membalik salah satu tepi, dan memasang kembali.

Para topolog lama bertanya-tanya: Apakah sebuah bola bersifat homeomorfik dengan versi dalam-luarnya sendiri? Dengan kata lain, dapatkah Anda membalikkan bola ke dalam? Pada awalnya tampaknya tidak mungkin, karena Anda tidak diizinkan membuat lubang di bola dan menarik bagian dalamnya. Namun pada kenyataannya, “sphere eversion”, demikian sebutannya, adalah mungkin. Tonton video di atas untuk melihat cara melakukannya.

Hebatnya, ahli topologi Bernard Morin, seorang pengembang kunci dari metode kompleks eversi yang ditunjukkan di sini, buta.

Matematika di Dinding

Meskipun mereka mungkin dihiasi dengan variasi tak terbatas dari hiasan, secara matematis, hanya ada sejumlah terbatas pola geometris berbeda. Semua lukisan Escher, wallpaper, desain ubin, dan memang semua susunan dua dimensi yang berulang. Dapat diidentifikasi sebagai milik satu atau yang lain dari apa yang disebut “grup wallpaper”. Dan berapa banyak grup wallpaper yang ada? Tepat 17.

Soneta

“Seperti soneta Shakespeare yang menangkap esensi cinta. Atau lukisan yang memunculkan keindahan bentuk manusia yang jauh lebih dari sekadar kulit. Persamaan Euler menjangkau hingga ke kedalaman keberadaan.”

Ahli matematika Stanford, Keith Devlin, menulis kata-kata ini tentang persamaan di sebelah kiri. Dalam esai tahun 2002 yang berjudul “Persamaan Terindah”. Tapi mengapa formula Euler begitu menakjubkan? Dan apa artinya itu?

Pertama, huruf “e” mewakili angka irasional (dengan digit tak berujung) yang dimulai 2,71828 … Ditemukan dalam konteks bunga majemuk yang terus menerus. Ia mengatur tingkat pertumbuhan eksponensial, dari populasi serangga hingga akumulasi bunga hingga peluruhan radioaktif. Dalam matematika, bilangan tersebut menunjukkan beberapa sifat yang sangat mengejutkan. Seperti – menggunakan terminologi matematika – sama dengan jumlah inversi semua faktorial dari 0 hingga tak terhingga. Memang, konstanta “e” menyelimuti matematika, muncul entah dari mana dalam sejumlah besar persamaan penting.

Selanjutnya, “i” mewakili apa yang disebut “bilangan imajiner”: akar kuadrat dari negatif 1. Disebut demikian karena, pada kenyataannya, tidak ada bilangan yang dapat dikalikan dengan sendirinya. Untuk menghasilkan bilangan negatif (dan negatif angka tidak memiliki akar kuadrat nyata). Tetapi dalam matematika, ada banyak situasi di mana seseorang dipaksa untuk mengambil akar kuadrat dari sebuah negatif. Oleh karena itu, huruf “i” digunakan sebagai semacam stand-in untuk menandai tempat di mana hal ini dilakukan.

Pi, rasio keliling lingkaran dengan diameternya, adalah salah satu bilangan yang paling disukai dan paling menarik dalam matematika. Seperti “e,” tampaknya tiba-tiba muncul dalam sejumlah besar rumus matematika dan fisika.

Gabungkan semuanya, konstanta “e” yang dipangkatkan ke pangkat “i” imajiner dikalikan dengan pi sama dengan -1. Dan, seperti yang terlihat pada persamaan Euler, menambahkan 1 untuk menghasilkan 0. Tampaknya hampir tidak dapat dipercaya bahwa semua bilangan aneh ini – dan bahkan yang tidak nyata – akan bergabung begitu sederhana. Tapi itu fakta yang sudah terbukti.

11 Persamaan Matematika Terindah

11 Persamaan Matematika Terindah

Persamaan matematika tidak hanya berguna – banyak juga yang cukup indah. Dan banyak ilmuwan mengakui bahwa mereka sering menyukai formula tertentu tidak hanya karena fungsinya. Tetapi juga karena bentuknya, dan kebenaran puitis sederhana yang dikandungnya.

Sementara persamaan terkenal tertentu, seperti Albert Einstein E = mc^2. Memonopoli sebagian besar kemuliaan publik, banyak rumus yang kurang dikenal memiliki juara di antara para ilmuwan. LiveScience bertanya kepada fisikawan, astronom, dan ahli matematika tentang persamaan favorit mereka. Inilah yang kami temukan:

Relativitas Umum

Persamaan di atas dirumuskan oleh Einstein sebagai bagian dari teori relativitas umum yang inovatif pada tahun 1915. Teori itu merevolusi cara ilmuwan memahami gravitasi dengan menggambarkan gaya sebagai lengkungan struktur ruang dan waktu.

“Sungguh menakjubkan bagi saya bahwa satu persamaan matematika seperti itu dapat menggambarkan tentang apakah ruang-waktu itu”. Kata astrofisikawan Institut Sains Teleskop Luar Angkasa Mario Livio, yang menominasikan persamaan itu sebagai favoritnya. “Semua kejeniusan sejati Einstein terwujud dalam persamaan ini.”

“Sisi kanan persamaan ini menjelaskan kandungan energi alam semesta kita. (Termasuk ‘energi gelap’ yang mendorong percepatan kosmik saat ini)” jelas Livio. “Sisi kiri menggambarkan geometri ruang-waktu. Persamaan tersebut mencerminkan fakta bahwa dalam relativitas umum Einstein. Massa dan energi menentukan geometri, dan bersamaan dengan kelengkungan. Yang merupakan manifestasi dari apa yang kita sebut gravitasi.”

“Ini persamaan yang sangat elegan,” kata Kyle Cranmer, fisikawan di Universitas New York. Menambahkan bahwa persamaan tersebut mengungkapkan hubungan antara ruang-waktu dan materi dan energi. “Persamaan ini memberi tahu Anda bagaimana mereka terkait. Bagaimana kehadiran matahari membelokkan ruang-waktu sehingga Bumi bergerak mengelilinginya dalam orbit, dll. Persamaan ini juga memberi tahu Anda bagaimana alam semesta berevolusi sejak Big Bang. Dan memprediksi bahwa seharusnya ada lubang hitam.”

Model Standar

Teori utama fisika lainnya. Model standar menggambarkan kumpulan partikel fundamental yang saat ini dianggap membentuk alam semesta kita.

Teori ini dapat dirangkum dalam persamaan utama yang disebut model standar Lagrangian. (Dinamai menurut ahli matematika dan astronom Prancis abad ke-18 Joseph Louis Lagrange). Dipilih oleh fisikawan teoretis Lance Dixon dari SLAC National Accelerator Laboratory di California sebagai rumus favoritnya.

“Ini telah berhasil menggambarkan semua partikel dasar dan gaya yang telah kami amati di laboratorium sampai saat ini – kecuali gravitasi,” kata Dixon LiveScience. “Itu termasuk, tentu saja, Higgs (seperti) boson, phi yang baru-baru ini ditemukan dalam rumusnya. Ini sepenuhnya konsisten dengan mekanika kuantum dan relativitas khusus.”

Akan tetapi, teori model standar belum disatukan dengan relativitas umum. Itulah sebabnya ia tidak dapat menggambarkan gravitasi.

Kalkulus

Sementara dua persamaan pertama mendeskripsikan aspek-aspek tertentu dari alam semesta kita, persamaan favorit lainnya dapat diterapkan pada segala macam situasi. Teorema fundamental kalkulus membentuk tulang punggung metode matematika yang dikenal sebagai kalkulus. Dan menghubungkan dua gagasan utamanya, konsep integral dan konsep turunan.

“Dengan kata sederhana, [itu] mengatakan bahwa perubahan bersih dari kuantitas halus dan kontinu, seperti jarak yang ditempuh, selama interval waktu tertentu (yaitu perbedaan nilai kuantitas pada titik akhir interval waktu) sama dengan integral laju perubahan kuantitas itu, yaitu integral kecepatan,” kata Melkana Brakalova-Trevithick, ketua jurusan matematika di Universitas Fordham, yang memilih persamaan ini sebagai favoritnya. “Teorema dasar kalkulus (FTC) memungkinkan kita untuk menentukan perubahan bersih selama interval berdasarkan tingkat perubahan selama seluruh interval.”

Benih kalkulus dimulai pada zaman kuno, tetapi sebagian besar disatukan pada abad ke-17 oleh Isaac Newton. Yang menggunakan kalkulus untuk menggambarkan gerakan planet-planet di sekitar matahari.

Teori Pitagoras

Persamaan “kuno tapi bagus” adalah teorema Pythagoras yang terkenal, yang dipelajari setiap siswa geometri pemula.

Rumus ini menguraikan bagaimana, untuk segitiga siku-siku apa pun, kuadrat dari panjang hipotenusa, c, (sisi terpanjang segitiga siku-siku). Sama dengan jumlah kuadrat dari panjang kedua sisi lainnya (a dan b ). Jadi, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2

“Fakta matematika pertama yang membuat saya takjub adalah teorema Pythagoras,” kata matematikawan Daina Taimina dari Cornell University. “Saat itu saya masih kecil dan menurut saya sangat menakjubkan bahwa ia bekerja dalam geometri dan bekerja dengan angka!”

1 = 0,9999999999….

Persamaan sederhana ini, yang menyatakan bahwa kuantitas 0,999, yang diikuti oleh untaian sembilan tak hingga. Setara dengan satu, adalah favorit matematikawan Steven Strogatz dari Cornell University.

“Saya suka betapa sederhananya ini – semua orang mengerti apa yang dikatakannya – namun betapa provokatifnya itu,” kata Strogatz. “Banyak orang tidak percaya itu benar. Itu juga sangat seimbang. Sisi kiri melambangkan permulaan matematika; sisi kanan melambangkan misteri ketidakterbatasan.”

Relativitas Khusus

Einstein membuat daftar itu lagi dengan rumusnya untuk relativitas khusus, yang menjelaskan bagaimana ruang dan waktu bukanlah konsep absolut. Melainkan relatif bergantung pada kecepatan pengamat. Persamaan di atas menunjukkan bagaimana waktu melebar, atau melambat, semakin cepat seseorang bergerak ke segala arah.

“Intinya adalah sangat sederhana,” kata Bill Murray, fisikawan partikel di laboratorium CERN di Jenewa. “Tidak ada yang tidak bisa dilakukan oleh siswa tingkat A, tidak ada turunan kompleks dan jejak aljabar. Tapi yang diwujudkannya adalah cara pandang yang sama sekali baru terhadap dunia, seluruh sikap terhadap realitas dan hubungan kita dengannya. Tiba-tiba, kaku kosmos yang tidak berubah tersapu dan diganti dengan dunia pribadi, terkait dengan apa yang Anda amati. Anda berpindah dari berada di luar alam semesta, melihat ke bawah, ke salah satu komponen di dalamnya. Tetapi konsep dan matematika dapat dipahami oleh siapa saja yang menginginkan.”

Murray mengatakan dia lebih suka persamaan relativitas khusus daripada rumus yang lebih rumit dalam teori Einstein selanjutnya. “Saya tidak pernah bisa mengikuti matematika relativitas umum,” katanya.

Persamaan Euler

Rumus sederhana ini merangkum sesuatu yang murni tentang sifat bola:

“Dikatakan bahwa jika Anda memotong permukaan bola menjadi wajah, tepi dan simpul. Dan F adalah jumlah sisi, E jumlah sisi dan V jumlah simpul. Anda akan selalu mendapatkan V – E + F = 2,” kata Colin Adams. Beliau adalah matematikawan di Williams College di Massachusetts.

Jadi misalnya tetrahedron yang terdiri dari empat segitiga, enam sisi, dan empat simpul, jelas Adams. “Jika Anda meniup dengan keras menjadi tetrahedron dengan permukaan yang fleksibel. Anda dapat membulatkannya menjadi sebuah bola. Jadi dalam pengertian itu, sebuah bola dapat dipotong menjadi empat sisi, enam sisi dan empat simpul. Dan kita melihat bahwa V – E + F = 2. Pegangan yang sama untuk piramida dengan lima sisi – empat segitiga, dan satu persegi – delapan sisi dan lima simpul.”

Dikombinasi dengan wajah, sisi, dan simpul lainnya. “Fakta yang sangat keren! Kombinatorik dari simpul, tepi, dan permukaan menangkap sesuatu yang sangat mendasar tentang bentuk bola,” kata Adams.

Persamaan Euler-Lagrange dan Teorema Noether

“Ini sangat abstrak, tapi sangat kuat,” kata Cranmer dari NYU. “Hal yang keren adalah bahwa cara berpikir tentang fisika ini telah bertahan dari beberapa revolusi besar dalam fisika. Seperti mekanika kuantum, relativitas, dll.”

Di sini, L adalah singkatan dari Lagrangian, yang merupakan ukuran energi dalam sistem fisik. Seperti pegas, atau pengungkit atau partikel fundamental. “Memecahkan persamaan ini memberi tahu Anda bagaimana sistem akan berkembang seiring waktu,” kata Cranmer.

Sebuah spin-off persamaan Lagrangian disebut teorema Noether, diambil dari nama matematikawan Jerman abad ke-20, Emmy Noether. “Teorema ini sangat fundamental bagi fisika dan peran simetri,” kata Cranmer. Secara informal, teorema adalah bahwa jika sistem Anda memiliki simetri, maka ada hukum kekekalan yang sesuai. Sebagai contoh, gagasan bahwa hukum dasar fisika sama dengan hari ini (simetri waktu) menyiratkan bahwa energi dikonservasi. Gagasan bahwa hukum fisika di sini sama dengan hukum di luar angkasa menyiratkan bahwa momentum dilestarikan. Simetri mungkin adalah konsep penggerak dalam fisika fundamental, terutama karena kontribusi [Noether].”

Persamaan Callan-Symanzik

“Persamaan Callan-Symanzik adalah persamaan prinsip-prinsip penting dari tahun 1970. Penting untuk menggambarkan bagaimana ekspektasi naif akan gagal di dunia kuantum,” kata fisikawan teoritis Matt Strassler dari Universitas Rutgers.

Persamaan ini memiliki banyak aplikasi, termasuk memungkinkan fisikawan memperkirakan massa dan ukuran proton dan neutron, yang menyusun inti atom.

Fisika dasar memberi tahu kita bahwa gaya gravitasi, dan gaya listrik. Antara dua benda sebanding dengan kuadrat jarak di antara keduanya. Pada tingkat sederhana, hal yang sama berlaku untuk gaya nuklir kuat. Yang mengikat proton dan neutron bersama-sama untuk membentuk inti atom. Dan yang mengikat kuark menjadi satu untuk membentuk proton dan neutron. Namun, fluktuasi kuantum kecil dapat sedikit mengubah ketergantungan gaya pada jarak, yang memiliki konsekuensi dramatis bagi gaya nuklir kuat.

“Ini mencegah gaya ini berkurang pada jarak jauh, dan menyebabkannya menjebak quark. Dan menggabungkannya untuk membentuk proton dan neutron dunia kita,” kata Strassler. “Apa yang dilakukan persamaan Callan-Symanzik adalah menghubungkan efek dramatis dan sulit dihitung ini, penting ketika [jarak] kira-kira seukuran proton, dengan efek yang lebih halus tetapi lebih mudah dihitung yang dapat diukur saat [ jaraknya] jauh lebih kecil dari proton.”

Persamaan Permukaan Minimal

“Persamaan permukaan minimal entah bagaimana menyandikan film sabun indah yang terbentuk pada batas kawat. Saat Anda mencelupkannya ke dalam air sabun,” kata ahli matematika Frank Morgan dari Williams College. “Fakta bahwa persamaannya adalah ‘nonlinier’, yang melibatkan kekuatan dan produk turunan, adalah petunjuk matematika berkode untuk perilaku mengejutkan film sabun. Hal ini berbeda dengan persamaan diferensial parsial linier yang lebih dikenal, seperti persamaan panas. Persamaan gelombang, dan persamaan Schrödinger dari fisika kuantum.”

Garis Euler

Glen Whitney, pendiri Museum of Math di New York, memilih teorema geometris lain, yang satu ini berkaitan dengan garis Euler. Dinamai menurut ahli matematika dan fisikawan Swiss abad ke-18 Leonhard Euler.

“Mulailah dengan segitiga apa saja,” jelas Whitney. “Gambarkan lingkaran terkecil yang berisi segitiga dan temukan pusatnya. Temukan pusat massa segitiga – titik di mana segitiga, jika dipotong dari selembar kertas, akan seimbang pada sebuah peniti. Gambarkan tiga ketinggian dari segitiga tersebut. Segitiga  adalah garis dari setiap sudut tegak lurus ke sisi yang berlawanan. Temukan titik di mana mereka semua bertemu. Teorema adalah bahwa ketiga titik yang baru saja Anda temukan selalu terletak pada satu garis lurus. Yang disebut ‘garis Euler’ dari segitiga.”

Whitney mengatakan teorema merangkum keindahan dan kekuatan matematika, yang sering mengungkapkan pola mengejutkan dalam bentuk yang sederhana dan familiar.